Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59721 / 27341
↖ ↑ ↗
← N 71.790256°
W 15.971374°		 ← 95.44 m → N 71.790256°
W 15.968628°		 →
↑
95.44 m
↓
↑
95.44 m
↓
N 71.789397°
W 15.971374°		 ← 95.45 m →
9 109 m²		 N 71.789397°
W 15.968628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455638885498047 y=0.208599090576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455638885498047 × 217)
    floor (0.455638885498047 × 131072)
    floor (59721.5)     		tx = 59721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208599090576172 × 217)
    floor (0.208599090576172 × 131072)
    floor (27341.5)     		ty = 27341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59721 / 27341 ti = "17/59721/27341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59721/27341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59721 ÷ 217
    59721 ÷ 131072     		x = 0.455635070800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27341 ÷ 217
    27341 ÷ 131072     		y = 0.208595275878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455635070800781 × 2 - 1) × π
    -0.0887298583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27875307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208595275878906 × 2 - 1) × π
    0.582809448242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.83094988098804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27875307} λ = -0.27875307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83094988098804))-π/2
    2×atan(6.23981092217054)-π/2
    2×1.41188633014254-π/2
    2.82377266028509-1.57079632675     		φ = 1.25297633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27875307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.971374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25297633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.790256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59721 KachelY 27341 -0.27875307 1.25297633 -15.971374 71.790256
    Oben rechts KachelX + 1 59722 KachelY 27341 -0.27870513 1.25297633 -15.968628 71.790256
    Unten links KachelX 59721 KachelY + 1 27342 -0.27875307 1.25296135 -15.971374 71.789397
    Unten rechts KachelX + 1 59722 KachelY + 1 27342 -0.27870513 1.25296135 -15.968628 71.789397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25297633-1.25296135) × R
    1.49799999999978e-05 × 6371000     		dl = 95.4375799999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25297633-1.25296135) × R
    1.49799999999978e-05 × 6371000     		dr = 95.4375799999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27875307--0.27870513) × cos(1.25297633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312496478526394 × 6371000     		do = 95.4444682012553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27875307--0.27870513) × cos(1.25296135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312510708276724 × 6371000     		du = 95.4488143332799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25297633)-sin(1.25296135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312496478526394-0.312510708276724)×R²
    abs(-0.27870513--0.27875307)×1.42297503299971e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42297503299971e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42297503299971e-05×40589641000000     		ar = 9109.19646185239m²