Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59721 / 27333
↖ ↑ ↗
← N 71.797121°
W 15.971374°		 ← 95.41 m → N 71.797121°
W 15.968628°		 →
↑
95.37 m
↓
↑
95.37 m
↓
N 71.796263°
W 15.971374°		 ← 95.41 m →
9 100 m²		 N 71.796263°
W 15.968628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455638885498047 y=0.208538055419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455638885498047 × 217)
    floor (0.455638885498047 × 131072)
    floor (59721.5)     		tx = 59721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208538055419922 × 217)
    floor (0.208538055419922 × 131072)
    floor (27333.5)     		ty = 27333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59721 / 27333 ti = "17/59721/27333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59721/27333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59721 ÷ 217
    59721 ÷ 131072     		x = 0.455635070800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27333 ÷ 217
    27333 ÷ 131072     		y = 0.208534240722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455635070800781 × 2 - 1) × π
    -0.0887298583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27875307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208534240722656 × 2 - 1) × π
    0.582931518554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.83133337618501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27875307} λ = -0.27875307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83133337618501))-π/2
    2×atan(6.24220431858781)-π/2
    2×1.41194623967819-π/2
    2.82389247935638-1.57079632675     		φ = 1.25309615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27875307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.971374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25309615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.797121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59721 KachelY 27333 -0.27875307 1.25309615 -15.971374 71.797121
    Oben rechts KachelX + 1 59722 KachelY 27333 -0.27870513 1.25309615 -15.968628 71.797121
    Unten links KachelX 59721 KachelY + 1 27334 -0.27875307 1.25308118 -15.971374 71.796263
    Unten rechts KachelX + 1 59722 KachelY + 1 27334 -0.27870513 1.25308118 -15.968628 71.796263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25309615-1.25308118) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dl = 95.373870000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25309615-1.25308118) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dr = 95.373870000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27875307--0.27870513) × cos(1.25309615) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312382656998673 × 6371000     		do = 95.4097041769234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27875307--0.27870513) × cos(1.25308118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312396877810298 × 6371000     		du = 95.4140475788373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25309615)-sin(1.25308118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312382656998673-0.312396877810298)×R²
    abs(-0.27870513--0.27875307)×1.42208116249432e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42208116249432e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42208116249432e-05×40589641000000     		ar = 9099.79984666829m²