Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59718 / 85090
↖ ↑ ↗
← S 47.223299°
W 15.979614°		 ← 207.38 m → S 47.223299°
W 15.976868°		 →
↑
207.38 m
↓
↑
207.38 m
↓
S 47.225164°
W 15.979614°		 ← 207.38 m →
43 006 m²		 S 47.225164°
W 15.976868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455615997314453 y=0.649188995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455615997314453 × 217)
    floor (0.455615997314453 × 131072)
    floor (59718.5)     		tx = 59718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649188995361328 × 217)
    floor (0.649188995361328 × 131072)
    floor (85090.5)     		ty = 85090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59718 / 85090 ti = "17/59718/85090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59718/85090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59718 ÷ 217
    59718 ÷ 131072     		x = 0.455612182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85090 ÷ 217
    85090 ÷ 131072     		y = 0.649185180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455612182617188 × 2 - 1) × π
    -0.088775634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27889688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649185180664062 × 2 - 1) × π
    -0.298370361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.937358135170578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27889688} λ = -0.27889688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937358135170578))-π/2
    2×atan(0.39166118568307)-π/2
    2×0.373297138792026-π/2
    0.746594277584052-1.57079632675     		φ = -0.82420205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27889688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.979614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82420205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.223299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59718 KachelY 85090 -0.27889688 -0.82420205 -15.979614 -47.223299
    Oben rechts KachelX + 1 59719 KachelY 85090 -0.27884895 -0.82420205 -15.976868 -47.223299
    Unten links KachelX 59718 KachelY + 1 85091 -0.27889688 -0.82423460 -15.979614 -47.225164
    Unten rechts KachelX + 1 59719 KachelY + 1 85091 -0.27884895 -0.82423460 -15.976868 -47.225164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82420205--0.82423460) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dl = 207.376050000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82420205--0.82423460) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dr = 207.376050000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27889688--0.27884895) × cos(-0.82420205) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679142881937673 × 6371000     		do = 207.384449088665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27889688--0.27884895) × cos(-0.82423460) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679118989679543 × 6371000     		du = 207.377153300221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82420205)-sin(-0.82423460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679142881937673-0.679118989679543)×R²
    abs(-0.27884895--0.27889688)×2.38922581297096e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38922581297096e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38922581297096e-05×40589641000000     		ar = 43005.8114012611m²