Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59718 / 59340
↖ ↑ ↗
← S 81.048879°
E148.040772°		 ← 95.03 m → S 81.048879°
E148.046264°		 →
↑
94.99 m
↓
↑
94.99 m
↓
S 81.049734°
E148.040772°		 ← 95.02 m →
9 027 m²		 S 81.049734°
E148.046264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911231994628906 y=0.905464172363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911231994628906 × 216)
    floor (0.911231994628906 × 65536)
    floor (59718.5)     		tx = 59718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905464172363281 × 216)
    floor (0.905464172363281 × 65536)
    floor (59340.5)     		ty = 59340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59718 / 59340 ti = "16/59718/59340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59718/59340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59718 ÷ 216
    59718 ÷ 65536     		x = 0.911224365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59340 ÷ 216
    59340 ÷ 65536     		y = 0.90545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911224365234375 × 2 - 1) × π
    0.82244873046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58379889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90545654296875 × 2 - 1) × π
    -0.8109130859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54755859340826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58379889} λ = 2.58379889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54755859340826))-π/2
    2×atan(0.0782725279862742)-π/2
    2×0.0781132651601364-π/2
    0.156226530320273-1.57079632675     		φ = -1.41456980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58379889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.040772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41456980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.048879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59718 KachelY 59340 2.58379889 -1.41456980 148.040772 -81.048879
    Oben rechts KachelX + 1 59719 KachelY 59340 2.58389476 -1.41456980 148.046264 -81.048879
    Unten links KachelX 59718 KachelY + 1 59341 2.58379889 -1.41458471 148.040772 -81.049734
    Unten rechts KachelX + 1 59719 KachelY + 1 59341 2.58389476 -1.41458471 148.046264 -81.049734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41456980--1.41458471) × R
    1.49099999999791e-05 × 6371000     		dl = 94.9916099998669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41456980--1.41458471) × R
    1.49099999999791e-05 × 6371000     		dr = 94.9916099998669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58379889-2.58389476) × cos(-1.41456980) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155591805481243 × 6371000     		do = 95.0335719001599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58379889-2.58389476) × cos(-1.41458471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155577077046333 × 6371000     		du = 95.0245759522458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41456980)-sin(-1.41458471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155591805481243-0.155577077046333)×R²
    abs(2.58389476-2.58379889)×1.4728434909711e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4728434909711e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4728434909711e-05×40589641000000     		ar = 9026.96472936093m²