Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59718 / 30158
↖ ↑ ↗
← N 69.211354°
W 15.979614°		 ← 108.38 m → N 69.211354°
W 15.976868°		 →
↑
108.37 m
↓
↑
108.37 m
↓
N 69.210379°
W 15.979614°		 ← 108.38 m →
11 745 m²		 N 69.210379°
W 15.976868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455615997314453 y=0.230091094970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455615997314453 × 217)
    floor (0.455615997314453 × 131072)
    floor (59718.5)     		tx = 59718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230091094970703 × 217)
    floor (0.230091094970703 × 131072)
    floor (30158.5)     		ty = 30158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59718 / 30158 ti = "17/59718/30158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59718/30158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59718 ÷ 217
    59718 ÷ 131072     		x = 0.455612182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30158 ÷ 217
    30158 ÷ 131072     		y = 0.230087280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455612182617188 × 2 - 1) × π
    -0.088775634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27889688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230087280273438 × 2 - 1) × π
    0.539825439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69591163475835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27889688} λ = -0.27889688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69591163475835))-π/2
    2×atan(5.45161358097265)-π/2
    2×1.38938116371246-π/2
    2.77876232742491-1.57079632675     		φ = 1.20796600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27889688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.979614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20796600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.211354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59718 KachelY 30158 -0.27889688 1.20796600 -15.979614 69.211354
    Oben rechts KachelX + 1 59719 KachelY 30158 -0.27884895 1.20796600 -15.976868 69.211354
    Unten links KachelX 59718 KachelY + 1 30159 -0.27889688 1.20794899 -15.979614 69.210379
    Unten rechts KachelX + 1 59719 KachelY + 1 30159 -0.27884895 1.20794899 -15.976868 69.210379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20796600-1.20794899) × R
    1.7010000000095e-05 × 6371000     		dl = 108.370710000605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20796600-1.20794899) × R
    1.7010000000095e-05 × 6371000     		dr = 108.370710000605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27889688--0.27884895) × cos(1.20796600) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354921712606377 × 6371000     		do = 108.379614652626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27889688--0.27884895) × cos(1.20794899) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354937615136419 × 6371000     		du = 108.384470681482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20796600)-sin(1.20794899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354921712606377-0.354937615136419)×R²
    abs(-0.27884895--0.27889688)×1.59025300413007e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59025300413007e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59025300413007e-05×40589641000000     		ar = 11745.4389154086m²