Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59717 / 59353
↖ ↑ ↗
← S 81.059983°
E148.035279°		 ← 94.92 m → S 81.059983°
E148.040772°		 →
↑
94.93 m
↓
↑
94.93 m
↓
S 81.060837°
E148.035279°		 ← 94.91 m →
9 010 m²		 S 81.060837°
E148.040772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911216735839844 y=0.905662536621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911216735839844 × 216)
    floor (0.911216735839844 × 65536)
    floor (59717.5)     		tx = 59717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905662536621094 × 216)
    floor (0.905662536621094 × 65536)
    floor (59353.5)     		ty = 59353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59717 / 59353 ti = "16/59717/59353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59717/59353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59717 ÷ 216
    59717 ÷ 65536     		x = 0.911209106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59353 ÷ 216
    59353 ÷ 65536     		y = 0.905654907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911209106445312 × 2 - 1) × π
    0.822418212890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58370302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905654907226562 × 2 - 1) × π
    -0.811309814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54880495279839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58370302} λ = 2.58370302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54880495279839))-π/2
    2×atan(0.078175033055512)-π/2
    2×0.0780163631688422-π/2
    0.156032726337684-1.57079632675     		φ = -1.41476360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58370302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.035279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41476360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.059983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59717 KachelY 59353 2.58370302 -1.41476360 148.035279 -81.059983
    Oben rechts KachelX + 1 59718 KachelY 59353 2.58379889 -1.41476360 148.040772 -81.059983
    Unten links KachelX 59717 KachelY + 1 59354 2.58370302 -1.41477850 148.035279 -81.060837
    Unten rechts KachelX + 1 59718 KachelY + 1 59354 2.58379889 -1.41477850 148.040772 -81.060837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41476360--1.41477850) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dl = 94.9279000002541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41476360--1.41477850) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dr = 94.9279000002541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58370302-2.58379889) × cos(-1.41476360) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155400362766188 × 6371000     		do = 94.916641031149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58370302-2.58379889) × cos(-1.41477850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155385643760524 × 6371000     		du = 94.9076508425025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41476360)-sin(-1.41477850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155400362766188-0.155385643760524)×R²
    abs(2.58379889-2.58370302)×1.47190056645763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47190056645763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47190056645763e-05×40589641000000     		ar = 9009.81069850694m²