Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59716 / 59323
↖ ↑ ↗
← S 81.034338°
E148.029785°		 ← 95.20 m → S 81.034338°
E148.035279°		 →
↑
95.18 m
↓
↑
95.18 m
↓
S 81.035194°
E148.029785°		 ← 95.19 m →
9 061 m²		 S 81.035194°
E148.035279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911201477050781 y=0.905204772949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911201477050781 × 216)
    floor (0.911201477050781 × 65536)
    floor (59716.5)     		tx = 59716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905204772949219 × 216)
    floor (0.905204772949219 × 65536)
    floor (59323.5)     		ty = 59323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59716 / 59323 ti = "16/59716/59323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59716/59323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59716 ÷ 216
    59716 ÷ 65536     		x = 0.91119384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59323 ÷ 216
    59323 ÷ 65536     		y = 0.905197143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91119384765625 × 2 - 1) × π
    0.8223876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58360714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905197143554688 × 2 - 1) × π
    -0.810394287109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54592873882118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58360714} λ = 2.58360714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54592873882118))-π/2
    2×atan(0.0784002048441477)-π/2
    2×0.0782401632964764-π/2
    0.156480326592953-1.57079632675     		φ = -1.41431600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58360714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.029785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41431600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.034338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59716 KachelY 59323 2.58360714 -1.41431600 148.029785 -81.034338
    Oben rechts KachelX + 1 59717 KachelY 59323 2.58370302 -1.41431600 148.035279 -81.034338
    Unten links KachelX 59716 KachelY + 1 59324 2.58360714 -1.41433094 148.029785 -81.035194
    Unten rechts KachelX + 1 59717 KachelY + 1 59324 2.58370302 -1.41433094 148.035279 -81.035194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41431600--1.41433094) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dl = 95.1827400001199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41431600--1.41433094) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dr = 95.1827400001199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58360714-2.58370302) × cos(-1.41431600) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.155842509547911 × 6371000     		do = 95.1966276046343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58360714-2.58370302) × cos(-1.41433094) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.155827752068705 × 6371000     		du = 95.1876129766199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41431600)-sin(-1.41433094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155842509547911-0.155827752068705)×R²
    abs(2.58370302-2.58360714)×1.47574792065119e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.47574792065119e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.47574792065119e-05×40589641000000     		ar = 9060.64683578333m²