Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59716 / 35524
↖ ↑ ↗
← N 63.307748°
W 15.985108°		 ← 137.20 m → N 63.307748°
W 15.982361°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
N 63.306514°
W 15.985108°		 ← 137.20 m →
18 828 m²		 N 63.306514°
W 15.982361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455600738525391 y=0.271030426025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455600738525391 × 217)
    floor (0.455600738525391 × 131072)
    floor (59716.5)     		tx = 59716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271030426025391 × 217)
    floor (0.271030426025391 × 131072)
    floor (35524.5)     		ty = 35524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59716 / 35524 ti = "17/59716/35524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59716/35524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59716 ÷ 217
    59716 ÷ 131072     		x = 0.455596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35524 ÷ 217
    35524 ÷ 131072     		y = 0.271026611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455596923828125 × 2 - 1) × π
    -0.08880615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27899276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271026611328125 × 2 - 1) × π
    0.45794677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.43868223139713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27899276} λ = -0.27899276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43868223139713))-π/2
    2×atan(4.21513757960632)-π/2
    2×1.33786248713521-π/2
    2.67572497427042-1.57079632675     		φ = 1.10492865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27899276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.985108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10492865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.307748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59716 KachelY 35524 -0.27899276 1.10492865 -15.985108 63.307748
    Oben rechts KachelX + 1 59717 KachelY 35524 -0.27894482 1.10492865 -15.982361 63.307748
    Unten links KachelX 59716 KachelY + 1 35525 -0.27899276 1.10490711 -15.985108 63.306514
    Unten rechts KachelX + 1 59717 KachelY + 1 35525 -0.27894482 1.10490711 -15.982361 63.306514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10492865-1.10490711) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dl = 137.231339999207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10492865-1.10490711) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dr = 137.231339999207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27899276--0.27894482) × cos(1.10492865) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449198180779114 × 6371000     		do = 137.196686771184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27899276--0.27894482) × cos(1.10490711) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449217425203268 × 6371000     		du = 137.202564513672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10492865)-sin(1.10490711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449198180779114-0.449217425203268)×R²
    abs(-0.27894482--0.27899276)×1.9244424153908e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9244424153908e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9244424153908e-05×40589641000000     		ar = 18828.0884751553m²