Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59714 / 59361
↖ ↑ ↗
← S 81.066810°
E148.018799°		 ← 94.85 m → S 81.066810°
E148.024292°		 →
↑
94.80 m
↓
↑
94.80 m
↓
S 81.067663°
E148.018799°		 ← 94.85 m →
8 992 m²		 S 81.067663°
E148.024292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911170959472656 y=0.905784606933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911170959472656 × 216)
    floor (0.911170959472656 × 65536)
    floor (59714.5)     		tx = 59714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905784606933594 × 216)
    floor (0.905784606933594 × 65536)
    floor (59361.5)     		ty = 59361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59714 / 59361 ti = "16/59714/59361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59714/59361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59714 ÷ 216
    59714 ÷ 65536     		x = 0.911163330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59361 ÷ 216
    59361 ÷ 65536     		y = 0.905776977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911163330078125 × 2 - 1) × π
    0.82232666015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58341539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905776977539062 × 2 - 1) × π
    -0.811553955078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54957194319231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58341539} λ = 2.58341539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54957194319231))-π/2
    2×atan(0.0781150965444163)-π/2
    2×0.0779567904475908-π/2
    0.155913580895182-1.57079632675     		φ = -1.41488275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58341539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.018799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41488275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.066810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59714 KachelY 59361 2.58341539 -1.41488275 148.018799 -81.066810
    Oben rechts KachelX + 1 59715 KachelY 59361 2.58351127 -1.41488275 148.024292 -81.066810
    Unten links KachelX 59714 KachelY + 1 59362 2.58341539 -1.41489763 148.018799 -81.067663
    Unten rechts KachelX + 1 59715 KachelY + 1 59362 2.58351127 -1.41489763 148.024292 -81.067663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41488275--1.41489763) × R
    1.48799999999394e-05 × 6371000     		dl = 94.8004799996138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41488275--1.41489763) × R
    1.48799999999394e-05 × 6371000     		dr = 94.8004799996138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58341539-2.58351127) × cos(-1.41488275) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155282659148638 × 6371000     		do = 94.854642159219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58341539-2.58351127) × cos(-1.41489763) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155267959624651 × 6371000     		du = 94.8456629332363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41488275)-sin(-1.41489763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155282659148638-0.155267959624651)×R²
    abs(2.58351127-2.58341539)×1.46995239867775e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.46995239867775e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.46995239867775e-05×40589641000000     		ar = 8991.83998959062m²