Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59714 / 59179
↖ ↑ ↗
← S 80.910220°
E148.018799°		 ← 96.50 m → S 80.910220°
E148.024292°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
S 80.911088°
E148.018799°		 ← 96.49 m →
9 314 m²		 S 80.911088°
E148.024292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911170959472656 y=0.903007507324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911170959472656 × 216)
    floor (0.911170959472656 × 65536)
    floor (59714.5)     		tx = 59714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903007507324219 × 216)
    floor (0.903007507324219 × 65536)
    floor (59179.5)     		ty = 59179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59714 / 59179 ti = "16/59714/59179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59714/59179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59714 ÷ 216
    59714 ÷ 65536     		x = 0.911163330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59179 ÷ 216
    59179 ÷ 65536     		y = 0.902999877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911163330078125 × 2 - 1) × π
    0.82232666015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58341539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902999877929688 × 2 - 1) × π
    -0.805999755859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53212291173061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58341539} λ = 2.58341539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53212291173061))-π/2
    2×atan(0.0794900905921425)-π/2
    2×0.0793232984771539-π/2
    0.158646596954308-1.57079632675     		φ = -1.41214973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58341539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.018799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41214973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.910220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59714 KachelY 59179 2.58341539 -1.41214973 148.018799 -80.910220
    Oben rechts KachelX + 1 59715 KachelY 59179 2.58351127 -1.41214973 148.024292 -80.910220
    Unten links KachelX 59714 KachelY + 1 59180 2.58341539 -1.41216488 148.018799 -80.911088
    Unten rechts KachelX + 1 59715 KachelY + 1 59180 2.58351127 -1.41216488 148.024292 -80.911088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41214973--1.41216488) × R
    1.51499999998528e-05 × 6371000     		dl = 96.5206499990621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41214973--1.41216488) × R
    1.51499999998528e-05 × 6371000     		dr = 96.5206499990621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58341539-2.58351127) × cos(-1.41214973) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157981944541078 × 6371000     		do = 96.5035046361321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58341539-2.58351127) × cos(-1.41216488) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157966984776634 × 6371000     		du = 96.4943664418813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41214973)-sin(-1.41216488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157981944541078-0.157966984776634)×R²
    abs(2.58351127-2.58341539)×1.49597644435451e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.49597644435451e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.49597644435451e-05×40589641000000     		ar = 9314.13998244581m²