Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59713 / 86287
↖ ↑ ↗
← S 49.409186°
W 15.993347°		 ← 198.73 m → S 49.409186°
W 15.990601°		 →
↑
198.71 m
↓
↑
198.71 m
↓
S 49.410973°
W 15.993347°		 ← 198.72 m →
39 488 m²		 S 49.410973°
W 15.990601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455577850341797 y=0.658321380615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455577850341797 × 217)
    floor (0.455577850341797 × 131072)
    floor (59713.5)     		tx = 59713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658321380615234 × 217)
    floor (0.658321380615234 × 131072)
    floor (86287.5)     		ty = 86287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59713 / 86287 ti = "17/59713/86287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59713/86287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59713 ÷ 217
    59713 ÷ 131072     		x = 0.455574035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86287 ÷ 217
    86287 ÷ 131072     		y = 0.658317565917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455574035644531 × 2 - 1) × π
    -0.0888519287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27913657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658317565917969 × 2 - 1) × π
    -0.316635131835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.994738604015785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27913657} λ = -0.27913657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994738604015785))-π/2
    2×atan(0.369820101400039)-π/2
    2×0.354221673779378-π/2
    0.708443347558756-1.57079632675     		φ = -0.86235298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27913657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.993347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86235298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.409186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59713 KachelY 86287 -0.27913657 -0.86235298 -15.993347 -49.409186
    Oben rechts KachelX + 1 59714 KachelY 86287 -0.27908863 -0.86235298 -15.990601 -49.409186
    Unten links KachelX 59713 KachelY + 1 86288 -0.27913657 -0.86238417 -15.993347 -49.410973
    Unten rechts KachelX + 1 59714 KachelY + 1 86288 -0.27908863 -0.86238417 -15.990601 -49.410973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86235298--0.86238417) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dl = 198.711489999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86235298--0.86238417) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dr = 198.711489999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27913657--0.27908863) × cos(-0.86235298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650652475301809 × 6371000     		do = 198.726013751757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27913657--0.27908863) × cos(-0.86238417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650628790059247 × 6371000     		du = 198.71877966902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86235298)-sin(-0.86238417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650652475301809-0.650628790059247)×R²
    abs(-0.27908863--0.27913657)×2.36852425621326e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36852425621326e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36852425621326e-05×40589641000000     		ar = 39488.4235498354m²