Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59713 / 59359
↖ ↑ ↗
← S 81.065104°
E148.013306°		 ← 94.86 m → S 81.065104°
E148.018799°		 →
↑
94.86 m
↓
↑
94.86 m
↓
S 81.065957°
E148.013306°		 ← 94.85 m →
8 999 m²		 S 81.065957°
E148.018799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911155700683594 y=0.905754089355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911155700683594 × 216)
    floor (0.911155700683594 × 65536)
    floor (59713.5)     		tx = 59713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905754089355469 × 216)
    floor (0.905754089355469 × 65536)
    floor (59359.5)     		ty = 59359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59713 / 59359 ti = "16/59713/59359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59713/59359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59713 ÷ 216
    59713 ÷ 65536     		x = 0.911148071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59359 ÷ 216
    59359 ÷ 65536     		y = 0.905746459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911148071289062 × 2 - 1) × π
    0.822296142578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58331952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905746459960938 × 2 - 1) × π
    -0.811492919921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54938019559383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58331952} λ = 2.58331952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54938019559383))-π/2
    2×atan(0.07813007636271)-π/2
    2×0.0779716793965663-π/2
    0.155943358793133-1.57079632675     		φ = -1.41485297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58331952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.013306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41485297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.065104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59713 KachelY 59359 2.58331952 -1.41485297 148.013306 -81.065104
    Oben rechts KachelX + 1 59714 KachelY 59359 2.58341539 -1.41485297 148.018799 -81.065104
    Unten links KachelX 59713 KachelY + 1 59360 2.58331952 -1.41486786 148.013306 -81.065957
    Unten rechts KachelX + 1 59714 KachelY + 1 59360 2.58341539 -1.41486786 148.018799 -81.065957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41485297--1.41486786) × R
    1.48899999998786e-05 × 6371000     		dl = 94.8641899992266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41485297--1.41486786) × R
    1.48899999998786e-05 × 6371000     		dr = 94.8641899992266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58331952-2.58341539) × cos(-1.41485297) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155312077850772 × 6371000     		do = 94.8627176845375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58331952-2.58341539) × cos(-1.41486786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155297368516921 × 6371000     		du = 94.8537334033163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41485297)-sin(-1.41486786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155312077850772-0.155297368516921)×R²
    abs(2.58341539-2.58331952)×1.47093338512816e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47093338512816e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47093338512816e-05×40589641000000     		ar = 8998.6487313953m²