Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59713 / 35776
↖ ↑ ↗
← N 62.995159°
W 15.993347°		 ← 138.68 m → N 62.995159°
W 15.990601°		 →
↑
138.70 m
↓
↑
138.70 m
↓
N 62.993911°
W 15.993347°		 ← 138.69 m →
19 235 m²		 N 62.993911°
W 15.990601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455577850341797 y=0.272953033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455577850341797 × 217)
    floor (0.455577850341797 × 131072)
    floor (59713.5)     		tx = 59713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272953033447266 × 217)
    floor (0.272953033447266 × 131072)
    floor (35776.5)     		ty = 35776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59713 / 35776 ti = "17/59713/35776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59713/35776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59713 ÷ 217
    59713 ÷ 131072     		x = 0.455574035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35776 ÷ 217
    35776 ÷ 131072     		y = 0.27294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455574035644531 × 2 - 1) × π
    -0.0888519287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27913657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27294921875 × 2 - 1) × π
    0.4541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42660213269287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27913657} λ = -0.27913657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42660213269287))-π/2
    2×atan(4.16452462184452)-π/2
    2×1.33513462729071-π/2
    2.67026925458142-1.57079632675     		φ = 1.09947293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27913657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.993347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09947293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.995159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59713 KachelY 35776 -0.27913657 1.09947293 -15.993347 62.995159
    Oben rechts KachelX + 1 59714 KachelY 35776 -0.27908863 1.09947293 -15.990601 62.995159
    Unten links KachelX 59713 KachelY + 1 35777 -0.27913657 1.09945116 -15.993347 62.993911
    Unten rechts KachelX + 1 59714 KachelY + 1 35777 -0.27908863 1.09945116 -15.990601 62.993911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09947293-1.09945116) × R
    2.176999999981e-05 × 6371000     		dl = 138.69666999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09947293-1.09945116) × R
    2.176999999981e-05 × 6371000     		dr = 138.69666999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27913657--0.27908863) × cos(1.09947293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454065787061965 × 6371000     		do = 138.683379021992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27913657--0.27908863) × cos(1.09945116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454085183331195 × 6371000     		du = 138.689303141875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09947293)-sin(1.09945116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454065787061965-0.454085183331195)×R²
    abs(-0.27908863--0.27913657)×1.93962692295324e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93962692295324e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93962692295324e-05×40589641000000     		ar = 19235.3336833335m²