Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59713 / 35531
↖ ↑ ↗
← N 63.299110°
W 15.993347°		 ← 137.24 m → N 63.299110°
W 15.990601°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
N 63.297876°
W 15.993347°		 ← 137.24 m →
18 834 m²		 N 63.297876°
W 15.990601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455577850341797 y=0.271083831787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455577850341797 × 217)
    floor (0.455577850341797 × 131072)
    floor (59713.5)     		tx = 59713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271083831787109 × 217)
    floor (0.271083831787109 × 131072)
    floor (35531.5)     		ty = 35531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59713 / 35531 ti = "17/59713/35531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59713/35531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59713 ÷ 217
    59713 ÷ 131072     		x = 0.455574035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35531 ÷ 217
    35531 ÷ 131072     		y = 0.271080017089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455574035644531 × 2 - 1) × π
    -0.0888519287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27913657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271080017089844 × 2 - 1) × π
    0.457839965820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.43834667309978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27913657} λ = -0.27913657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43834667309978))-π/2
    2×atan(4.21372339250143)-π/2
    2×1.33778710974831-π/2
    2.67557421949662-1.57079632675     		φ = 1.10477789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27913657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.993347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10477789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.299110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59713 KachelY 35531 -0.27913657 1.10477789 -15.993347 63.299110
    Oben rechts KachelX + 1 59714 KachelY 35531 -0.27908863 1.10477789 -15.990601 63.299110
    Unten links KachelX 59713 KachelY + 1 35532 -0.27913657 1.10475635 -15.993347 63.297876
    Unten rechts KachelX + 1 59714 KachelY + 1 35532 -0.27908863 1.10475635 -15.990601 63.297876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10477789-1.10475635) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dl = 137.231340000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10477789-1.10475635) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dr = 137.231340000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27913657--0.27908863) × cos(1.10477789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.449332869503685 × 6371000     		do = 137.237824174396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27913657--0.27908863) × cos(1.10475635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.449352112468876 × 6371000     		du = 137.24370147128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10477789)-sin(1.10475635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449332869503685-0.449352112468876)×R²
    abs(-0.27908863--0.27913657)×1.92429651912907e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92429651912907e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92429651912907e-05×40589641000000     		ar = 18833.7337857504m²