Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59712 / 59200
↖ ↑ ↗
← S 80.928426°
E148.007813°		 ← 96.30 m → S 80.928426°
E148.013306°		 →
↑
96.27 m
↓
↑
96.27 m
↓
S 80.929292°
E148.007813°		 ← 96.29 m →
9 270 m²		 S 80.929292°
E148.013306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911140441894531 y=0.903327941894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911140441894531 × 216)
    floor (0.911140441894531 × 65536)
    floor (59712.5)     		tx = 59712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903327941894531 × 216)
    floor (0.903327941894531 × 65536)
    floor (59200.5)     		ty = 59200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59712 / 59200 ti = "16/59712/59200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59712/59200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59712 ÷ 216
    59712 ÷ 65536     		x = 0.9111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59200 ÷ 216
    59200 ÷ 65536     		y = 0.9033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9111328125 × 2 - 1) × π
    0.822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58322365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9033203125 × 2 - 1) × π
    -0.806640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53413626151465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58322365} λ = 2.58322365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53413626151465))-π/2
    2×atan(0.0793302102369619)-π/2
    2×0.0791644200054952-π/2
    0.15832884001099-1.57079632675     		φ = -1.41246749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58322365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41246749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.928426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59712 KachelY 59200 2.58322365 -1.41246749 148.007813 -80.928426
    Oben rechts KachelX + 1 59713 KachelY 59200 2.58331952 -1.41246749 148.013306 -80.928426
    Unten links KachelX 59712 KachelY + 1 59201 2.58322365 -1.41248260 148.007813 -80.929292
    Unten rechts KachelX + 1 59713 KachelY + 1 59201 2.58331952 -1.41248260 148.013306 -80.929292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41246749--1.41248260) × R
    1.51099999998738e-05 × 6371000     		dl = 96.2658099991962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41246749--1.41248260) × R
    1.51099999998738e-05 × 6371000     		dr = 96.2658099991962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58322365-2.58331952) × cos(-1.41246749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157668167000313 × 6371000     		do = 96.3017881221064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58322365-2.58331952) × cos(-1.41248260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157653245975907 × 6371000     		du = 96.2926745428833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41246749)-sin(-1.41248260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157668167000313-0.157653245975907)×R²
    abs(2.58331952-2.58322365)×1.49210244060338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49210244060338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49210244060338e-05×40589641000000     		ar = 9270.13097476288m²