Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59711 / 59357
↖ ↑ ↗
← S 81.063397°
E148.002319°		 ← 94.89 m → S 81.063397°
E148.007813°		 →
↑
94.93 m
↓
↑
94.93 m
↓
S 81.064251°
E148.002319°		 ← 94.88 m →
9 007 m²		 S 81.064251°
E148.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911125183105469 y=0.905723571777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911125183105469 × 216)
    floor (0.911125183105469 × 65536)
    floor (59711.5)     		tx = 59711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905723571777344 × 216)
    floor (0.905723571777344 × 65536)
    floor (59357.5)     		ty = 59357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59711 / 59357 ti = "16/59711/59357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59711/59357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59711 ÷ 216
    59711 ÷ 65536     		x = 0.911117553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59357 ÷ 216
    59357 ÷ 65536     		y = 0.905715942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911117553710938 × 2 - 1) × π
    0.822235107421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58312777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905715942382812 × 2 - 1) × π
    -0.811431884765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.54918844799535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58312777} λ = 2.58312777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54918844799535))-π/2
    2×atan(0.0781450590536232)-π/2
    2×0.0779865711660859-π/2
    0.155973142332172-1.57079632675     		φ = -1.41482318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58312777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.002319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41482318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.063397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59711 KachelY 59357 2.58312777 -1.41482318 148.002319 -81.063397
    Oben rechts KachelX + 1 59712 KachelY 59357 2.58322365 -1.41482318 148.007813 -81.063397
    Unten links KachelX 59711 KachelY + 1 59358 2.58312777 -1.41483808 148.002319 -81.064251
    Unten rechts KachelX + 1 59712 KachelY + 1 59358 2.58322365 -1.41483808 148.007813 -81.064251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41482318--1.41483808) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dl = 94.9279000002541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41482318--1.41483808) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dr = 94.9279000002541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58312777-2.58322365) × cos(-1.41482318) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155341506293777 × 6371000     		do = 94.8905890249205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58312777-2.58322365) × cos(-1.41483808) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155326787150189 × 6371000     		du = 94.8815978142759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41482318)-sin(-1.41483808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155341506293777-0.155326787150189)×R²
    abs(2.58322365-2.58312777)×1.47191435873606e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.47191435873606e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.47191435873606e-05×40589641000000     		ar = 9007.33758761611m²