Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59710 / 86256
↖ ↑ ↗
← S 49.353756°
W 16.001587°		 ← 198.95 m → S 49.353756°
W 15.998840°		 →
↑
198.90 m
↓
↑
198.90 m
↓
S 49.355545°
W 16.001587°		 ← 198.94 m →
39 571 m²		 S 49.355545°
W 15.998840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455554962158203 y=0.658084869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455554962158203 × 217)
    floor (0.455554962158203 × 131072)
    floor (59710.5)     		tx = 59710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658084869384766 × 217)
    floor (0.658084869384766 × 131072)
    floor (86256.5)     		ty = 86256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59710 / 86256 ti = "17/59710/86256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59710/86256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59710 ÷ 217
    59710 ÷ 131072     		x = 0.455551147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86256 ÷ 217
    86256 ÷ 131072     		y = 0.6580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455551147460938 × 2 - 1) × π
    -0.088897705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27928038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.993252560127563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27928038} λ = -0.27928038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993252560127563))-π/2
    2×atan(0.370370078845567)-π/2
    2×0.354705395651951-π/2
    0.709410791303902-1.57079632675     		φ = -0.86138554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27928038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.001587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86138554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.353756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59710 KachelY 86256 -0.27928038 -0.86138554 -16.001587 -49.353756
    Oben rechts KachelX + 1 59711 KachelY 86256 -0.27923244 -0.86138554 -15.998840 -49.353756
    Unten links KachelX 59710 KachelY + 1 86257 -0.27928038 -0.86141676 -16.001587 -49.355545
    Unten rechts KachelX + 1 59711 KachelY + 1 86257 -0.27923244 -0.86141676 -15.998840 -49.355545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86138554--0.86141676) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dl = 198.90261999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86138554--0.86141676) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dr = 198.90261999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27928038--0.27923244) × cos(-0.86138554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651386821066532 × 6371000     		do = 198.950301850363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27928038--0.27923244) × cos(-0.86141676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651363132704792 × 6371000     		du = 198.943066814949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86138554)-sin(-0.86141676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651386821066532-0.651363132704792)×R²
    abs(-0.27923244--0.27928038)×2.36883617399375e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36883617399375e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36883617399375e-05×40589641000000     		ar = 39571.016757188m²