Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59710 / 59355
↖ ↑ ↗
← S 81.061691°
E147.996826°		 ← 94.90 m → S 81.061691°
E148.002319°		 →
↑
94.86 m
↓
↑
94.86 m
↓
S 81.062544°
E147.996826°		 ← 94.89 m →
9 002 m²		 S 81.062544°
E148.002319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911109924316406 y=0.905693054199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911109924316406 × 216)
    floor (0.911109924316406 × 65536)
    floor (59710.5)     		tx = 59710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905693054199219 × 216)
    floor (0.905693054199219 × 65536)
    floor (59355.5)     		ty = 59355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59710 / 59355 ti = "16/59710/59355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59710/59355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59710 ÷ 216
    59710 ÷ 65536     		x = 0.911102294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59355 ÷ 216
    59355 ÷ 65536     		y = 0.905685424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911102294921875 × 2 - 1) × π
    0.82220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58303190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905685424804688 × 2 - 1) × π
    -0.811370849609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54899670039687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58303190} λ = 2.58303190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54899670039687))-π/2
    2×atan(0.0781600446177069)-π/2
    2×0.0780014657566708-π/2
    0.156002931513342-1.57079632675     		φ = -1.41479340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58303190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.996826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41479340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.061691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59710 KachelY 59355 2.58303190 -1.41479340 147.996826 -81.061691
    Oben rechts KachelX + 1 59711 KachelY 59355 2.58312777 -1.41479340 148.002319 -81.061691
    Unten links KachelX 59710 KachelY + 1 59356 2.58303190 -1.41480829 147.996826 -81.062544
    Unten rechts KachelX + 1 59711 KachelY + 1 59356 2.58312777 -1.41480829 148.002319 -81.062544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41479340--1.41480829) × R
    1.48900000001007e-05 × 6371000     		dl = 94.8641900006413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41479340--1.41480829) × R
    1.48900000001007e-05 × 6371000     		dr = 94.8641900006413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58303190-2.58312777) × cos(-1.41479340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155370924720362 × 6371000     		do = 94.8986606327856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58303190-2.58312777) × cos(-1.41480829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155356215524291 × 6371000     		du = 94.8896764357192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41479340)-sin(-1.41480829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155370924720362-0.155356215524291)×R²
    abs(2.58312777-2.58303190)×1.47091960705503e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47091960705503e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47091960705503e-05×40589641000000     		ar = 9002.05843430269m²