Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5971 / 6877
↖ ↑ ↗
← N 27.741885°
W 48.801269°		 ← 2 162.38 m → N 27.741885°
W 48.779297°		 →
↑
2 162.64 m
↓
↑
2 162.64 m
↓
N 27.722436°
W 48.801269°		 ← 2 162.76 m →
4 676 849 m²		 N 27.722436°
W 48.779297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364471435546875 y=0.419769287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364471435546875 × 214)
    floor (0.364471435546875 × 16384)
    floor (5971.5)     		tx = 5971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419769287109375 × 214)
    floor (0.419769287109375 × 16384)
    floor (6877.5)     		ty = 6877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5971 / 6877 ti = "14/5971/6877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5971/6877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5971 ÷ 214
    5971 ÷ 16384     		x = 0.36444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6877 ÷ 214
    6877 ÷ 16384     		y = 0.41973876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.2711181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85174283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41973876953125 × 2 - 1) × π
    0.1605224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.504296184002991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85174283} λ = -0.85174283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504296184002991))-π/2
    2×atan(1.65581971784813)-π/2
    2×1.0274917771639-π/2
    2.05498355432781-1.57079632675     		φ = 0.48418723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85174283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.801269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48418723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.741885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5971 KachelY 6877 -0.85174283 0.48418723 -48.801269 27.741885
    Oben rechts KachelX + 1 5972 KachelY 6877 -0.85135934 0.48418723 -48.779297 27.741885
    Unten links KachelX 5971 KachelY + 1 6878 -0.85174283 0.48384778 -48.801269 27.722436
    Unten rechts KachelX + 1 5972 KachelY + 1 6878 -0.85135934 0.48384778 -48.779297 27.722436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48418723-0.48384778) × R
    0.000339450000000019 × 6371000     		dl = 2162.63595000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48418723-0.48384778) × R
    0.000339450000000019 × 6371000     		dr = 2162.63595000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85174283--0.85135934) × cos(0.48418723) × R
    0.000383489999999931 × 0.885053577029178 × 6371000     		do = 2162.3759893397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85174283--0.85135934) × cos(0.48384778) × R
    0.000383489999999931 × 0.885211536333592 × 6371000     		du = 2162.76191784846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48418723)-sin(0.48384778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885053577029178-0.885211536333592)×R²
    abs(-0.85135934--0.85174283)×0.000157959304413757×R²
    0.000383489999999931×0.000157959304413757×6371000²
    0.000383489999999931×0.000157959304413757×40589641000000     		ar = 4676849.40830467m²