Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59709 / 59365
↖ ↑ ↗
← S 81.070221°
E147.991333°		 ← 94.81 m → S 81.070221°
E147.996826°		 →
↑
94.86 m
↓
↑
94.86 m
↓
S 81.071074°
E147.991333°		 ← 94.80 m →
8 994 m²		 S 81.071074°
E147.996826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911094665527344 y=0.905845642089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911094665527344 × 216)
    floor (0.911094665527344 × 65536)
    floor (59709.5)     		tx = 59709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905845642089844 × 216)
    floor (0.905845642089844 × 65536)
    floor (59365.5)     		ty = 59365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59709 / 59365 ti = "16/59709/59365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59709/59365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59709 ÷ 216
    59709 ÷ 65536     		x = 0.911087036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59365 ÷ 216
    59365 ÷ 65536     		y = 0.905838012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911087036132812 × 2 - 1) × π
    0.822174072265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58293603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905838012695312 × 2 - 1) × π
    -0.811676025390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.54995543838927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58293603} λ = 2.58293603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54995543838927))-π/2
    2×atan(0.0780851455234849)-π/2
    2×0.0779270210091885-π/2
    0.155854042018377-1.57079632675     		φ = -1.41494228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58293603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.991333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41494228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.070221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59709 KachelY 59365 2.58293603 -1.41494228 147.991333 -81.070221
    Oben rechts KachelX + 1 59710 KachelY 59365 2.58303190 -1.41494228 147.996826 -81.070221
    Unten links KachelX 59709 KachelY + 1 59366 2.58293603 -1.41495717 147.991333 -81.071074
    Unten rechts KachelX + 1 59710 KachelY + 1 59366 2.58303190 -1.41495717 147.996826 -81.071074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41494228--1.41495717) × R
    1.48900000001007e-05 × 6371000     		dl = 94.8641900006413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41494228--1.41495717) × R
    1.48900000001007e-05 × 6371000     		dr = 94.8641900006413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58293603-2.58303190) × cos(-1.41494228) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155223850967639 × 6371000     		do = 94.8088297833346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58293603-2.58303190) × cos(-1.41495717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155209141427318 × 6371000     		du = 94.7998453760042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41494228)-sin(-1.41495717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155223850967639-0.155209141427318)×R²
    abs(2.58303190-2.58293603)×1.47095403210951e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47095403210951e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47095403210951e-05×40589641000000     		ar = 8993.53669335971m²