Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59709 / 59331
↖ ↑ ↗
← S 81.041183°
E147.991333°		 ← 95.11 m → S 81.041183°
E147.996826°		 →
↑
95.12 m
↓
↑
95.12 m
↓
S 81.042039°
E147.991333°		 ← 95.11 m →
9 047 m²		 S 81.042039°
E147.996826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911094665527344 y=0.905326843261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911094665527344 × 216)
    floor (0.911094665527344 × 65536)
    floor (59709.5)     		tx = 59709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905326843261719 × 216)
    floor (0.905326843261719 × 65536)
    floor (59331.5)     		ty = 59331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59709 / 59331 ti = "16/59709/59331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59709/59331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59709 ÷ 216
    59709 ÷ 65536     		x = 0.911087036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59331 ÷ 216
    59331 ÷ 65536     		y = 0.905319213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911087036132812 × 2 - 1) × π
    0.822174072265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58293603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905319213867188 × 2 - 1) × π
    -0.810638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5466957292151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58293603} λ = 2.58293603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5466957292151))-π/2
    2×atan(0.0783400956946676)-π/2
    2×0.0781804210765865-π/2
    0.156360842153173-1.57079632675     		φ = -1.41443548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58293603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.991333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41443548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.041183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59709 KachelY 59331 2.58293603 -1.41443548 147.991333 -81.041183
    Oben rechts KachelX + 1 59710 KachelY 59331 2.58303190 -1.41443548 147.996826 -81.041183
    Unten links KachelX 59709 KachelY + 1 59332 2.58293603 -1.41445041 147.991333 -81.042039
    Unten rechts KachelX + 1 59710 KachelY + 1 59332 2.58303190 -1.41445041 147.996826 -81.042039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41443548--1.41445041) × R
    1.49299999998576e-05 × 6371000     		dl = 95.1190299990925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41443548--1.41445041) × R
    1.49299999998576e-05 × 6371000     		dr = 95.1190299990925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58293603-2.58303190) × cos(-1.41443548) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155724488252588 × 6371000     		do = 95.1146129141874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58293603-2.58303190) × cos(-1.41445041) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155709740373345 × 6371000     		du = 95.1056050899122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41443548)-sin(-1.41445041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155724488252588-0.155709740373345)×R²
    abs(2.58303190-2.58293603)×1.47478792430766e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47478792430766e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47478792430766e-05×40589641000000     		ar = 9046.7813116709m²