Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59709 / 35674
↖ ↑ ↗
← N 63.122089°
W 16.004333°		 ← 138.05 m → N 63.122089°
W 16.001587°		 →
↑
138.06 m
↓
↑
138.06 m
↓
N 63.120847°
W 16.004333°		 ← 138.06 m →
19 060 m²		 N 63.120847°
W 16.001587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455547332763672 y=0.272174835205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455547332763672 × 217)
    floor (0.455547332763672 × 131072)
    floor (59709.5)     		tx = 59709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272174835205078 × 217)
    floor (0.272174835205078 × 131072)
    floor (35674.5)     		ty = 35674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59709 / 35674 ti = "17/59709/35674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59709/35674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59709 ÷ 217
    59709 ÷ 131072     		x = 0.455543518066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35674 ÷ 217
    35674 ÷ 131072     		y = 0.272171020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455543518066406 × 2 - 1) × π
    -0.0889129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27932831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272171020507812 × 2 - 1) × π
    0.455657958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.43149169645412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27932831} λ = -0.27932831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43149169645412))-π/2
    2×atan(4.18493719413684)-π/2
    2×1.33624230367753-π/2
    2.67248460735505-1.57079632675     		φ = 1.10168828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27932831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.004333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10168828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.122089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59709 KachelY 35674 -0.27932831 1.10168828 -16.004333 63.122089
    Oben rechts KachelX + 1 59710 KachelY 35674 -0.27928038 1.10168828 -16.001587 63.122089
    Unten links KachelX 59709 KachelY + 1 35675 -0.27932831 1.10166661 -16.004333 63.120847
    Unten rechts KachelX + 1 59710 KachelY + 1 35675 -0.27928038 1.10166661 -16.001587 63.120847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10168828-1.10166661) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dl = 138.059569999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10168828-1.10166661) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dr = 138.059569999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27932831--0.27928038) × cos(1.10168828) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.452090868138548 × 6371000     		do = 138.051385239334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27932831--0.27928038) × cos(1.10166661) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.452110197063187 × 6371000     		du = 138.057287558999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10168828)-sin(1.10166661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452090868138548-0.452110197063187)×R²
    abs(-0.27928038--0.27932831)×1.93289246382955e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93289246382955e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93289246382955e-05×40589641000000     		ar = 19059.7223204811m²