Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59708 / 59324
↖ ↑ ↗
← S 81.035194°
E147.985840°		 ← 95.19 m → S 81.035194°
E147.991333°		 →
↑
95.18 m
↓
↑
95.18 m
↓
S 81.036050°
E147.985840°		 ← 95.18 m →
9 060 m²		 S 81.036050°
E147.991333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911079406738281 y=0.905220031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911079406738281 × 216)
    floor (0.911079406738281 × 65536)
    floor (59708.5)     		tx = 59708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905220031738281 × 216)
    floor (0.905220031738281 × 65536)
    floor (59324.5)     		ty = 59324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59708 / 59324 ti = "16/59708/59324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59708/59324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59708 ÷ 216
    59708 ÷ 65536     		x = 0.91107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59324 ÷ 216
    59324 ÷ 65536     		y = 0.90521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91107177734375 × 2 - 1) × π
    0.8221435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58284015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90521240234375 × 2 - 1) × π
    -0.8104248046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54602461262042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58284015} λ = 2.58284015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54602461262042))-π/2
    2×atan(0.0783926886789555)-π/2
    2×0.0782326930434805-π/2
    0.156465386086961-1.57079632675     		φ = -1.41433094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58284015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.985840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41433094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.035194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59708 KachelY 59324 2.58284015 -1.41433094 147.985840 -81.035194
    Oben rechts KachelX + 1 59709 KachelY 59324 2.58293603 -1.41433094 147.991333 -81.035194
    Unten links KachelX 59708 KachelY + 1 59325 2.58284015 -1.41434588 147.985840 -81.036050
    Unten rechts KachelX + 1 59709 KachelY + 1 59325 2.58293603 -1.41434588 147.991333 -81.036050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41433094--1.41434588) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dl = 95.1827400001199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41433094--1.41434588) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dr = 95.1827400001199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58284015-2.58293603) × cos(-1.41433094) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155827752068705 × 6371000     		do = 95.1876129761791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58284015-2.58293603) × cos(-1.41434588) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155812994554717 × 6371000     		du = 95.1785983269185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41433094)-sin(-1.41434588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155827752068705-0.155812994554717)×R²
    abs(2.58293603-2.58284015)×1.47575139878564e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.47575139878564e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.47575139878564e-05×40589641000000     		ar = 9059.78879784918m²