Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59707 / 59352
↖ ↑ ↗
← S 81.059130°
E147.980347°		 ← 94.93 m → S 81.059130°
E147.985840°		 →
↑
94.93 m
↓
↑
94.93 m
↓
S 81.059983°
E147.980347°		 ← 94.92 m →
9 011 m²		 S 81.059983°
E147.985840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911064147949219 y=0.905647277832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911064147949219 × 216)
    floor (0.911064147949219 × 65536)
    floor (59707.5)     		tx = 59707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905647277832031 × 216)
    floor (0.905647277832031 × 65536)
    floor (59352.5)     		ty = 59352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59707 / 59352 ti = "16/59707/59352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59707/59352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59707 ÷ 216
    59707 ÷ 65536     		x = 0.911056518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59352 ÷ 216
    59352 ÷ 65536     		y = 0.9056396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911056518554688 × 2 - 1) × π
    0.822113037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58274428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.811279296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54870907899915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58274428} λ = 2.58274428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54870907899915))-π/2
    2×atan(0.0781825283522323)-π/2
    2×0.0780238129331857-π/2
    0.156047625866371-1.57079632675     		φ = -1.41474870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58274428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.980347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41474870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.059130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59707 KachelY 59352 2.58274428 -1.41474870 147.980347 -81.059130
    Oben rechts KachelX + 1 59708 KachelY 59352 2.58284015 -1.41474870 147.985840 -81.059130
    Unten links KachelX 59707 KachelY + 1 59353 2.58274428 -1.41476360 147.980347 -81.059983
    Unten rechts KachelX + 1 59708 KachelY + 1 59353 2.58284015 -1.41476360 147.985840 -81.059983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41474870--1.41476360) × R
    1.48999999998178e-05 × 6371000     		dl = 94.9278999988394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41474870--1.41476360) × R
    1.48999999998178e-05 × 6371000     		dr = 94.9278999988394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58274428-2.58284015) × cos(-1.41474870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155415081737352 × 6371000     		do = 94.9256311987229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58274428-2.58284015) × cos(-1.41476360) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155400362766188 × 6371000     		du = 94.916641031149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41474870)-sin(-1.41476360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155415081737352-0.155400362766188)×R²
    abs(2.58284015-2.58274428)×1.4718971163924e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4718971163924e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4718971163924e-05×40589641000000     		ar = 9010.66411670159m²