Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59706 / 59354
↖ ↑ ↗
← S 81.060837°
E147.974853°		 ← 94.92 m → S 81.060837°
E147.980347°		 →
↑
94.93 m
↓
↑
94.93 m
↓
S 81.061691°
E147.974853°		 ← 94.91 m →
9 010 m²		 S 81.061691°
E147.980347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911048889160156 y=0.905677795410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911048889160156 × 216)
    floor (0.911048889160156 × 65536)
    floor (59706.5)     		tx = 59706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905677795410156 × 216)
    floor (0.905677795410156 × 65536)
    floor (59354.5)     		ty = 59354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59706 / 59354 ti = "16/59706/59354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59706/59354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59706 ÷ 216
    59706 ÷ 65536     		x = 0.911041259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59354 ÷ 216
    59354 ÷ 65536     		y = 0.905670166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911041259765625 × 2 - 1) × π
    0.82208251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58264840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905670166015625 × 2 - 1) × π
    -0.81134033203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54890082659763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58264840} λ = 2.58264840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54890082659763))-π/2
    2×atan(0.0781675384773598)-π/2
    2×0.0780089141100256-π/2
    0.156017828220051-1.57079632675     		φ = -1.41477850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58264840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.974853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41477850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.060837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59706 KachelY 59354 2.58264840 -1.41477850 147.974853 -81.060837
    Oben rechts KachelX + 1 59707 KachelY 59354 2.58274428 -1.41477850 147.980347 -81.060837
    Unten links KachelX 59706 KachelY + 1 59355 2.58264840 -1.41479340 147.974853 -81.061691
    Unten rechts KachelX + 1 59707 KachelY + 1 59355 2.58274428 -1.41479340 147.980347 -81.061691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41477850--1.41479340) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dl = 94.9279000002541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41477850--1.41479340) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dr = 94.9279000002541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58264840-2.58274428) × cos(-1.41477850) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155385643760524 × 6371000     		do = 94.9175504618064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58264840-2.58274428) × cos(-1.41479340) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155370924720362 × 6371000     		du = 94.9085593143394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41477850)-sin(-1.41479340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155385643760524-0.155370924720362)×R²
    abs(2.58274428-2.58264840)×1.47190401617592e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.47190401617592e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.47190401617592e-05×40589641000000     		ar = 9009.89698328215m²