Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59706 / 35558
↖ ↑ ↗
← N 63.265770°
W 16.012573°		 ← 137.37 m → N 63.265770°
W 16.009827°		 →
↑
137.42 m
↓
↑
137.42 m
↓
N 63.264534°
W 16.012573°		 ← 137.37 m →
18 878 m²		 N 63.264534°
W 16.009827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455524444580078 y=0.271289825439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455524444580078 × 217)
    floor (0.455524444580078 × 131072)
    floor (59706.5)     		tx = 59706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271289825439453 × 217)
    floor (0.271289825439453 × 131072)
    floor (35558.5)     		ty = 35558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59706 / 35558 ti = "17/59706/35558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59706/35558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59706 ÷ 217
    59706 ÷ 131072     		x = 0.455520629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35558 ÷ 217
    35558 ÷ 131072     		y = 0.271286010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455520629882812 × 2 - 1) × π
    -0.088958740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27947212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271286010742188 × 2 - 1) × π
    0.457427978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43705237681004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27947212} λ = -0.27947212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43705237681004))-π/2
    2×atan(4.2082731138471)-π/2
    2×1.3374961566544-π/2
    2.6749923133088-1.57079632675     		φ = 1.10419599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27947212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.012573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10419599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.265770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59706 KachelY 35558 -0.27947212 1.10419599 -16.012573 63.265770
    Oben rechts KachelX + 1 59707 KachelY 35558 -0.27942419 1.10419599 -16.009827 63.265770
    Unten links KachelX 59706 KachelY + 1 35559 -0.27947212 1.10417442 -16.012573 63.264534
    Unten rechts KachelX + 1 59707 KachelY + 1 35559 -0.27942419 1.10417442 -16.009827 63.264534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10419599-1.10417442) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dl = 137.42246999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10419599-1.10417442) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dr = 137.42246999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27947212--0.27942419) × cos(1.10419599) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.449852642151848 × 6371000     		do = 137.367916008277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27947212--0.27942419) × cos(1.10417442) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.449871906274459 × 6371000     		du = 137.373798539864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10419599)-sin(1.10417442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449852642151848-0.449871906274459)×R²
    abs(-0.27942419--0.27947212)×1.92641226110513e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92641226110513e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92641226110513e-05×40589641000000     		ar = 18877.84251327m²