Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59705 / 27413
↖ ↑ ↗
← N 71.728357°
W 16.015320°		 ← 95.76 m → N 71.728357°
W 16.012573°		 →
↑
95.76 m
↓
↑
95.76 m
↓
N 71.727496°
W 16.015320°		 ← 95.76 m →
9 170 m²		 N 71.727496°
W 16.012573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455516815185547 y=0.209148406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455516815185547 × 217)
    floor (0.455516815185547 × 131072)
    floor (59705.5)     		tx = 59705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209148406982422 × 217)
    floor (0.209148406982422 × 131072)
    floor (27413.5)     		ty = 27413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59705 / 27413 ti = "17/59705/27413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59705/27413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59705 ÷ 217
    59705 ÷ 131072     		x = 0.455513000488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27413 ÷ 217
    27413 ÷ 131072     		y = 0.209144592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455513000488281 × 2 - 1) × π
    -0.0889739990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27952006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209144592285156 × 2 - 1) × π
    0.581710815429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.8274984242154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27952006} λ = -0.27952006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8274984242154))-π/2
    2×atan(6.21831160782289)-π/2
    2×1.41134616119327-π/2
    2.82269232238654-1.57079632675     		φ = 1.25189600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27952006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.015320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25189600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.728357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59705 KachelY 27413 -0.27952006 1.25189600 -16.015320 71.728357
    Oben rechts KachelX + 1 59706 KachelY 27413 -0.27947212 1.25189600 -16.012573 71.728357
    Unten links KachelX 59705 KachelY + 1 27414 -0.27952006 1.25188097 -16.015320 71.727496
    Unten rechts KachelX + 1 59706 KachelY + 1 27414 -0.27947212 1.25188097 -16.012573 71.727496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25189600-1.25188097) × R
    1.50299999999159e-05 × 6371000     		dl = 95.7561299994645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25189600-1.25188097) × R
    1.50299999999159e-05 × 6371000     		dr = 95.7561299994645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27952006--0.27947212) × cos(1.25189600) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.313522521872214 × 6371000     		do = 95.7578482495352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27952006--0.27947212) × cos(1.25188097) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.313536794035691 × 6371000     		du = 95.7622073356265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25189600)-sin(1.25188097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313522521872214-0.313536794035691)×R²
    abs(-0.27947212--0.27952006)×1.42721634770471e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.42721634770471e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.42721634770471e-05×40589641000000     		ar = 9169.60967011551m²