Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59704 / 59384
↖ ↑ ↗
← S 81.086408°
E147.963867°		 ← 94.64 m → S 81.086408°
E147.969360°		 →
↑
94.61 m
↓
↑
94.61 m
↓
S 81.087258°
E147.963867°		 ← 94.63 m →
8 953 m²		 S 81.087258°
E147.969360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911018371582031 y=0.906135559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911018371582031 × 216)
    floor (0.911018371582031 × 65536)
    floor (59704.5)     		tx = 59704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906135559082031 × 216)
    floor (0.906135559082031 × 65536)
    floor (59384.5)     		ty = 59384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59704 / 59384 ti = "16/59704/59384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59704/59384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59704 ÷ 216
    59704 ÷ 65536     		x = 0.9110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59384 ÷ 216
    59384 ÷ 65536     		y = 0.9061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9110107421875 × 2 - 1) × π
    0.822021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58245666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.812255859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.55177704057483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58245666} λ = 2.58245666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55177704057483))-π/2
    2×atan(0.0779430349255236)-π/2
    2×0.0777857700925442-π/2
    0.155571540185088-1.57079632675     		φ = -1.41522479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58245666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41522479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.086408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59704 KachelY 59384 2.58245666 -1.41522479 147.963867 -81.086408
    Oben rechts KachelX + 1 59705 KachelY 59384 2.58255253 -1.41522479 147.969360 -81.086408
    Unten links KachelX 59704 KachelY + 1 59385 2.58245666 -1.41523964 147.963867 -81.087258
    Unten rechts KachelX + 1 59705 KachelY + 1 59385 2.58255253 -1.41523964 147.969360 -81.087258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41522479--1.41523964) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dl = 94.6093500007754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41522479--1.41523964) × R
    1.48500000001217e-05 × 6371000     		dr = 94.6093500007754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58245666-2.58255253) × cos(-1.41522479) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154944758989559 × 6371000     		do = 94.638363816418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58245666-2.58255253) × cos(-1.41523964) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154930088313913 × 6371000     		du = 94.6294031471557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41522479)-sin(-1.41523964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154944758989559-0.154930088313913)×R²
    abs(2.58255253-2.58245666)×1.46706756462001e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46706756462001e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46706756462001e-05×40589641000000     		ar = 8953.25020475616m²