Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59704 / 59178
↖ ↑ ↗
← S 80.909352°
E147.963867°		 ← 96.50 m → S 80.909352°
E147.969360°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
S 80.910220°
E147.963867°		 ← 96.49 m →
9 314 m²		 S 80.910220°
E147.969360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911018371582031 y=0.902992248535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911018371582031 × 216)
    floor (0.911018371582031 × 65536)
    floor (59704.5)     		tx = 59704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902992248535156 × 216)
    floor (0.902992248535156 × 65536)
    floor (59178.5)     		ty = 59178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59704 / 59178 ti = "16/59704/59178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59704/59178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59704 ÷ 216
    59704 ÷ 65536     		x = 0.9110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59178 ÷ 216
    59178 ÷ 65536     		y = 0.902984619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9110107421875 × 2 - 1) × π
    0.822021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58245666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902984619140625 × 2 - 1) × π
    -0.80596923828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53202703793137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58245666} λ = 2.58245666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53202703793137))-π/2
    2×atan(0.0794977119744691)-π/2
    2×0.0793308720002648-π/2
    0.15866174400053-1.57079632675     		φ = -1.41213458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58245666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41213458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.909352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59704 KachelY 59178 2.58245666 -1.41213458 147.963867 -80.909352
    Oben rechts KachelX + 1 59705 KachelY 59178 2.58255253 -1.41213458 147.969360 -80.909352
    Unten links KachelX 59704 KachelY + 1 59179 2.58245666 -1.41214973 147.963867 -80.910220
    Unten rechts KachelX + 1 59705 KachelY + 1 59179 2.58255253 -1.41214973 147.969360 -80.910220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41213458--1.41214973) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dl = 96.5206500004767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41213458--1.41214973) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dr = 96.5206500004767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58245666-2.58255253) × cos(-1.41213458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157996904269261 × 6371000     		do = 96.5025768255235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58245666-2.58255253) × cos(-1.41214973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157981944541078 × 6371000     		du = 96.4934396065065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41213458)-sin(-1.41214973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157996904269261-0.157981944541078)×R²
    abs(2.58255253-2.58245666)×1.49597281833835e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49597281833835e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49597281833835e-05×40589641000000     		ar = 9314.0504770383m²