Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59704 / 35669
↖ ↑ ↗
← N 63.128297°
W 16.018066°		 ← 138.05 m → N 63.128297°
W 16.015320°		 →
↑
138.06 m
↓
↑
138.06 m
↓
N 63.127055°
W 16.018066°		 ← 138.06 m →
19 060 m²		 N 63.127055°
W 16.015320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455509185791016 y=0.272136688232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455509185791016 × 217)
    floor (0.455509185791016 × 131072)
    floor (59704.5)     		tx = 59704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272136688232422 × 217)
    floor (0.272136688232422 × 131072)
    floor (35669.5)     		ty = 35669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59704 / 35669 ti = "17/59704/35669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59704/35669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59704 ÷ 217
    59704 ÷ 131072     		x = 0.45550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35669 ÷ 217
    35669 ÷ 131072     		y = 0.272132873535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45550537109375 × 2 - 1) × π
    -0.0889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27956800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272132873535156 × 2 - 1) × π
    0.455734252929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.43173138095222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27956800} λ = -0.27956800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43173138095222))-π/2
    2×atan(4.18594037892692)-π/2
    2×1.33629647747261-π/2
    2.67259295494522-1.57079632675     		φ = 1.10179663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27956800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.018066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10179663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.128297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59704 KachelY 35669 -0.27956800 1.10179663 -16.018066 63.128297
    Oben rechts KachelX + 1 59705 KachelY 35669 -0.27952006 1.10179663 -16.015320 63.128297
    Unten links KachelX 59704 KachelY + 1 35670 -0.27956800 1.10177496 -16.018066 63.127055
    Unten rechts KachelX + 1 59705 KachelY + 1 35670 -0.27952006 1.10177496 -16.015320 63.127055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10179663-1.10177496) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dl = 138.059569999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10179663-1.10177496) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dr = 138.059569999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27956800--0.27952006) × cos(1.10179663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451994220331086 × 6371000     		do = 138.050669220254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27956800--0.27952006) × cos(1.10177496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.452013550317118 × 6371000     		du = 138.056573095542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10179663)-sin(1.10177496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451994220331086-0.452013550317118)×R²
    abs(-0.27952006--0.27956800)×1.93299860317686e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93299860317686e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93299860317686e-05×40589641000000     		ar = 19059.6235748216m²