Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59703 / 59339
↖ ↑ ↗
← S 81.048025°
E147.958374°		 ← 95.05 m → S 81.048025°
E147.963867°		 →
↑
95.06 m
↓
↑
95.06 m
↓
S 81.048879°
E147.958374°		 ← 95.04 m →
9 035 m²		 S 81.048879°
E147.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911003112792969 y=0.905448913574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911003112792969 × 216)
    floor (0.911003112792969 × 65536)
    floor (59703.5)     		tx = 59703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905448913574219 × 216)
    floor (0.905448913574219 × 65536)
    floor (59339.5)     		ty = 59339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59703 / 59339 ti = "16/59703/59339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59703/59339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59703 ÷ 216
    59703 ÷ 65536     		x = 0.910995483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59339 ÷ 216
    59339 ÷ 65536     		y = 0.905441284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910995483398438 × 2 - 1) × π
    0.821990966796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58236078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905441284179688 × 2 - 1) × π
    -0.810882568359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54746271960902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58236078} λ = 2.58236078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54746271960902))-π/2
    2×atan(0.078280032630652)-π/2
    2×0.0781207241022626-π/2
    0.156241448204525-1.57079632675     		φ = -1.41455488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58236078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.958374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41455488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.048025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59703 KachelY 59339 2.58236078 -1.41455488 147.958374 -81.048025
    Oben rechts KachelX + 1 59704 KachelY 59339 2.58245666 -1.41455488 147.963867 -81.048025
    Unten links KachelX 59703 KachelY + 1 59340 2.58236078 -1.41456980 147.958374 -81.048879
    Unten rechts KachelX + 1 59704 KachelY + 1 59340 2.58245666 -1.41456980 147.963867 -81.048879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41455488--1.41456980) × R
    1.49199999999183e-05 × 6371000     		dl = 95.0553199994797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41455488--1.41456980) × R
    1.49199999999183e-05 × 6371000     		dr = 95.0553199994797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58236078-2.58245666) × cos(-1.41455488) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155606543759754 × 6371000     		do = 95.0524875532683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58236078-2.58245666) × cos(-1.41456980) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155591805481243 × 6371000     		du = 95.0434846540268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41455488)-sin(-1.41456980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155606543759754-0.155591805481243)×R²
    abs(2.58245666-2.58236078)×1.47382785115058e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.47382785115058e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.47382785115058e-05×40589641000000     		ar = 9034.81673459911m²