Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59703 / 35675
↖ ↑ ↗
← N 63.120847°
W 16.020813°		 ← 138.09 m → N 63.120847°
W 16.018066°		 →
↑
138.06 m
↓
↑
138.06 m
↓
N 63.119606°
W 16.020813°		 ← 138.09 m →
19 065 m²		 N 63.119606°
W 16.018066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455501556396484 y=0.272182464599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455501556396484 × 217)
    floor (0.455501556396484 × 131072)
    floor (59703.5)     		tx = 59703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272182464599609 × 217)
    floor (0.272182464599609 × 131072)
    floor (35675.5)     		ty = 35675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59703 / 35675 ti = "17/59703/35675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59703/35675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59703 ÷ 217
    59703 ÷ 131072     		x = 0.455497741699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35675 ÷ 217
    35675 ÷ 131072     		y = 0.272178649902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455497741699219 × 2 - 1) × π
    -0.0890045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27961594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272178649902344 × 2 - 1) × π
    0.455642700195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.4314437595545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27961594} λ = -0.27961594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4314437595545))-π/2
    2×atan(4.18473658603095)-π/2
    2×1.33623146752859-π/2
    2.67246293505718-1.57079632675     		φ = 1.10166661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27961594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.020813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10166661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.120847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59703 KachelY 35675 -0.27961594 1.10166661 -16.020813 63.120847
    Oben rechts KachelX + 1 59704 KachelY 35675 -0.27956800 1.10166661 -16.018066 63.120847
    Unten links KachelX 59703 KachelY + 1 35676 -0.27961594 1.10164494 -16.020813 63.119606
    Unten rechts KachelX + 1 59704 KachelY + 1 35676 -0.27956800 1.10164494 -16.018066 63.119606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10166661-1.10164494) × R
    2.16700000001957e-05 × 6371000     		dl = 138.059570001247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10166661-1.10164494) × R
    2.16700000001957e-05 × 6371000     		dr = 138.059570001247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27961594--0.27956800) × cos(1.10166661) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.452110197063187 × 6371000     		do = 138.086091499639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27961594--0.27956800) × cos(1.10164494) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.452129525775519 × 6371000     		du = 138.091994985906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10166661)-sin(1.10164494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452110197063187-0.452129525775519)×R²
    abs(-0.27956800--0.27961594)×1.93287123325114e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93287123325114e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93287123325114e-05×40589641000000     		ar = 19064.5139328356m²