Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59702 / 59103
↖ ↑ ↗
← S 80.844027°
E147.952881°		 ← 97.19 m → S 80.844027°
E147.958374°		 →
↑
97.16 m
↓
↑
97.16 m
↓
S 80.844901°
E147.952881°		 ← 97.18 m →
9 442 m²		 S 80.844901°
E147.958374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910987854003906 y=0.901847839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910987854003906 × 216)
    floor (0.910987854003906 × 65536)
    floor (59702.5)     		tx = 59702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901847839355469 × 216)
    floor (0.901847839355469 × 65536)
    floor (59103.5)     		ty = 59103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59702 / 59103 ti = "16/59702/59103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59702/59103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59702 ÷ 216
    59702 ÷ 65536     		x = 0.910980224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59103 ÷ 216
    59103 ÷ 65536     		y = 0.901840209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910980224609375 × 2 - 1) × π
    0.82196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58226491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901840209960938 × 2 - 1) × π
    -0.803680419921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52483650298836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58226491} λ = 2.58226491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52483650298836))-π/2
    2×atan(0.0800714031517069)-π/2
    2×0.079900934387029-π/2
    0.159801868774058-1.57079632675     		φ = -1.41099446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58226491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.952881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41099446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.844027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59702 KachelY 59103 2.58226491 -1.41099446 147.952881 -80.844027
    Oben rechts KachelX + 1 59703 KachelY 59103 2.58236078 -1.41099446 147.958374 -80.844027
    Unten links KachelX 59702 KachelY + 1 59104 2.58226491 -1.41100971 147.952881 -80.844901
    Unten rechts KachelX + 1 59703 KachelY + 1 59104 2.58236078 -1.41100971 147.958374 -80.844901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41099446--1.41100971) × R
    1.52500000001332e-05 × 6371000     		dl = 97.1577500008487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41099446--1.41100971) × R
    1.52500000001332e-05 × 6371000     		dr = 97.1577500008487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58226491-2.58236078) × cos(-1.41099446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159122600982546 × 6371000     		do = 97.1901386107271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58226491-2.58236078) × cos(-1.41100971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159107545266883 × 6371000     		du = 97.1809427637313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41099446)-sin(-1.41100971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159122600982546-0.159107545266883)×R²
    abs(2.58236078-2.58226491)×1.5055715663459e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5055715663459e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5055715663459e-05×40589641000000     		ar = 9442.32846612735m²