Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59701 / 59346
↖ ↑ ↗
← S 81.054006°
E147.947387°		 ← 94.99 m → S 81.054006°
E147.952881°		 →
↑
94.99 m
↓
↑
94.99 m
↓
S 81.054860°
E147.947387°		 ← 94.98 m →
9 023 m²		 S 81.054860°
E147.952881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910972595214844 y=0.905555725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910972595214844 × 216)
    floor (0.910972595214844 × 65536)
    floor (59701.5)     		tx = 59701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905555725097656 × 216)
    floor (0.905555725097656 × 65536)
    floor (59346.5)     		ty = 59346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59701 / 59346 ti = "16/59701/59346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59701/59346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59701 ÷ 216
    59701 ÷ 65536     		x = 0.910964965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59346 ÷ 216
    59346 ÷ 65536     		y = 0.905548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910964965820312 × 2 - 1) × π
    0.821929931640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58216903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.81109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5481338362037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58216903} λ = 2.58216903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5481338362037))-π/2
    2×atan(0.0782275152263433)-π/2
    2×0.0780685263389624-π/2
    0.156137052677925-1.57079632675     		φ = -1.41465927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58216903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.947387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41465927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.054006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59701 KachelY 59346 2.58216903 -1.41465927 147.947387 -81.054006
    Oben rechts KachelX + 1 59702 KachelY 59346 2.58226491 -1.41465927 147.952881 -81.054006
    Unten links KachelX 59701 KachelY + 1 59347 2.58216903 -1.41467418 147.947387 -81.054860
    Unten rechts KachelX + 1 59702 KachelY + 1 59347 2.58226491 -1.41467418 147.952881 -81.054860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41465927--1.41467418) × R
    1.49099999999791e-05 × 6371000     		dl = 94.9916099998669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41465927--1.41467418) × R
    1.49099999999791e-05 × 6371000     		dr = 94.9916099998669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58216903-2.58226491) × cos(-1.41465927) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155503424474705 × 6371000     		do = 94.9894969853797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58216903-2.58226491) × cos(-1.41467418) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155488695832305 × 6371000     		du = 94.9804999723713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41465927)-sin(-1.41467418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155503424474705-0.155488695832305)×R²
    abs(2.58226491-2.58216903)×1.47286424000415e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.47286424000415e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.47286424000415e-05×40589641000000     		ar = 9022.77793126713m²