Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59700 / 59348
↖ ↑ ↗
← S 81.055714°
E147.941894°		 ← 94.96 m → S 81.055714°
E147.947387°		 →
↑
94.93 m
↓
↑
94.93 m
↓
S 81.056568°
E147.941894°		 ← 94.95 m →
9 014 m²		 S 81.056568°
E147.947387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910957336425781 y=0.905586242675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910957336425781 × 216)
    floor (0.910957336425781 × 65536)
    floor (59700.5)     		tx = 59700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905586242675781 × 216)
    floor (0.905586242675781 × 65536)
    floor (59348.5)     		ty = 59348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59700 / 59348 ti = "16/59700/59348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59700/59348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59700 ÷ 216
    59700 ÷ 65536     		x = 0.91094970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59348 ÷ 216
    59348 ÷ 65536     		y = 0.90557861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91094970703125 × 2 - 1) × π
    0.8218994140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58207316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.8111572265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.54832558380218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58207316} λ = 2.58207316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54832558380218))-π/2
    2×atan(0.0782125167261728)-π/2
    2×0.0780536190471327-π/2
    0.156107238094265-1.57079632675     		φ = -1.41468909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58207316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.941894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41468909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.055714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59700 KachelY 59348 2.58207316 -1.41468909 147.941894 -81.055714
    Oben rechts KachelX + 1 59701 KachelY 59348 2.58216903 -1.41468909 147.947387 -81.055714
    Unten links KachelX 59700 KachelY + 1 59349 2.58207316 -1.41470399 147.941894 -81.056568
    Unten rechts KachelX + 1 59701 KachelY + 1 59349 2.58216903 -1.41470399 147.947387 -81.056568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41468909--1.41470399) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dl = 94.9279000002541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41468909--1.41470399) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dr = 94.9279000002541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58207316-2.58216903) × cos(-1.41468909) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155473967155339 × 6371000     		do = 94.9615976918606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58207316-2.58216903) × cos(-1.41470399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155459248322232 × 6371000     		du = 94.9526076086104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41468909)-sin(-1.41470399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155473967155339-0.155459248322232)×R²
    abs(2.58216903-2.58207316)×1.47188331065806e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47188331065806e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47188331065806e-05×40589641000000     		ar = 9014.07834463141m²