Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59700 / 30457
↖ ↑ ↗
← N 68.917922°
W 16.029053°		 ← 109.86 m → N 68.917922°
W 16.026306°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
N 68.916934°
W 16.029053°		 ← 109.87 m →
12 074 m²		 N 68.916934°
W 16.026306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455478668212891 y=0.232372283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455478668212891 × 217)
    floor (0.455478668212891 × 131072)
    floor (59700.5)     		tx = 59700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232372283935547 × 217)
    floor (0.232372283935547 × 131072)
    floor (30457.5)     		ty = 30457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59700 / 30457 ti = "17/59700/30457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59700/30457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59700 ÷ 217
    59700 ÷ 131072     		x = 0.455474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30457 ÷ 217
    30457 ÷ 131072     		y = 0.232368469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455474853515625 × 2 - 1) × π
    -0.08905029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27975975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232368469238281 × 2 - 1) × π
    0.535263061523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.68157850177195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27975975} λ = -0.27975975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68157850177195))-π/2
    2×atan(5.37403219884013)-π/2
    2×1.38682048653816-π/2
    2.77364097307633-1.57079632675     		φ = 1.20284465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27975975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.029053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20284465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.917922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59700 KachelY 30457 -0.27975975 1.20284465 -16.029053 68.917922
    Oben rechts KachelX + 1 59701 KachelY 30457 -0.27971181 1.20284465 -16.026306 68.917922
    Unten links KachelX 59700 KachelY + 1 30458 -0.27975975 1.20282740 -16.029053 68.916934
    Unten rechts KachelX + 1 59701 KachelY + 1 30458 -0.27971181 1.20282740 -16.026306 68.916934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20284465-1.20282740) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dl = 109.8997499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20284465-1.20282740) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dr = 109.8997499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27975975--0.27971181) × cos(1.20284465) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359704966961966 × 6371000     		do = 109.863155715962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27975975--0.27971181) × cos(1.20282740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359721062298579 × 6371000     		du = 109.868071646057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20284465)-sin(1.20282740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359704966961966-0.359721062298579)×R²
    abs(-0.27971181--0.27975975)×1.60953366122873e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60953366122873e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60953366122873e-05×40589641000000     		ar = 12074.2034772696m²