Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59700 / 27476
↖ ↑ ↗
← N 71.674029°
W 16.029053°		 ← 96.03 m → N 71.674029°
W 16.026306°		 →
↑
96.01 m
↓
↑
96.01 m
↓
N 71.673165°
W 16.029053°		 ← 96.04 m →
9 220 m²		 N 71.673165°
W 16.026306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455478668212891 y=0.209629058837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455478668212891 × 217)
    floor (0.455478668212891 × 131072)
    floor (59700.5)     		tx = 59700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209629058837891 × 217)
    floor (0.209629058837891 × 131072)
    floor (27476.5)     		ty = 27476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59700 / 27476 ti = "17/59700/27476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59700/27476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59700 ÷ 217
    59700 ÷ 131072     		x = 0.455474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27476 ÷ 217
    27476 ÷ 131072     		y = 0.209625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455474853515625 × 2 - 1) × π
    -0.08905029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27975975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209625244140625 × 2 - 1) × π
    0.58074951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82447839953934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27975975} λ = -0.27975975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82447839953934))-π/2
    2×atan(6.19956048200686)-π/2
    2×1.41087205890132-π/2
    2.82174411780263-1.57079632675     		φ = 1.25094779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27975975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.029053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25094779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.674029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59700 KachelY 27476 -0.27975975 1.25094779 -16.029053 71.674029
    Oben rechts KachelX + 1 59701 KachelY 27476 -0.27971181 1.25094779 -16.026306 71.674029
    Unten links KachelX 59700 KachelY + 1 27477 -0.27975975 1.25093272 -16.029053 71.673165
    Unten rechts KachelX + 1 59701 KachelY + 1 27477 -0.27971181 1.25093272 -16.026306 71.673165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25094779-1.25093272) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dl = 96.0109699993303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25094779-1.25093272) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dr = 96.0109699993303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27975975--0.27971181) × cos(1.25094779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314422782769595 × 6371000     		do = 96.0328111001999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27975975--0.27971181) × cos(1.25093272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.314437088429492 × 6371000     		du = 96.03718041696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25094779)-sin(1.25093272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314422782769595-0.314437088429492)×R²
    abs(-0.27971181--0.27975975)×1.4305659896352e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4305659896352e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4305659896352e-05×40589641000000     		ar = 9220.41309678785m²