Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 597 / 484
↖ ↑ ↗
← N  9.795678°
E 29.882813°		 ← 38.522 km → N  9.795678°
E 30.234375°		 →
↑
38.542 km
↓
↑
38.542 km
↓
N  9.449062°
E 29.882813°		 ← 38.562 km →
1 485.48 km²		 N  9.449062°
E 30.234375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58349609375 y=0.47314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58349609375 × 210)
    floor (0.58349609375 × 1024)
    floor (597.5)     		tx = 597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47314453125 × 210)
    floor (0.47314453125 × 1024)
    floor (484.5)     		ty = 484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 597 / 484 ti = "10/597/484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/597/484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 597 ÷ 210
    597 ÷ 1024     		x = 0.5830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 484 ÷ 210
    484 ÷ 1024     		y = 0.47265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5830078125 × 2 - 1) × π
    0.166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52155347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47265625 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.171805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52155347} λ = 0.52155347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.171805848238281))-π/2
    2×atan(1.18744726585349)-π/2
    2×0.870881576537118-π/2
    1.74176315307424-1.57079632675     		φ = 0.17096683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52155347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.882813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17096683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.795678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 597 KachelY 484 0.52155347 0.17096683 29.882813 9.795678
    Oben rechts KachelX + 1 598 KachelY 484 0.52768939 0.17096683 30.234375 9.795678
    Unten links KachelX 597 KachelY + 1 485 0.52155347 0.16491724 29.882813 9.449062
    Unten rechts KachelX + 1 598 KachelY + 1 485 0.52768939 0.16491724 30.234375 9.449062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17096683-0.16491724) × R
    0.00604958999999999 × 6371000     		dl = 38541.93789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17096683-0.16491724) × R
    0.00604958999999999 × 6371000     		dr = 38541.93789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52155347-0.52768939) × cos(0.17096683) × R
    0.00613592000000007 × 0.9854207357218 × 6371000     		do = 38522.014503452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52155347-0.52768939) × cos(0.16491724) × R
    0.00613592000000007 × 0.986431945491148 × 6371000     		du = 38561.5446614736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17096683)-sin(0.16491724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9854207357218-0.986431945491148)×R²
    abs(0.52768939-0.52155347)×0.00101120976934765×R²
    0.00613592000000007×0.00101120976934765×6371000²
    0.00613592000000007×0.00101120976934765×40589641000000     		ar = 1485479405.24767m²