Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59699 / 35657
↖ ↑ ↗
← N 63.143190°
W 16.031799°		 ← 137.95 m → N 63.143190°
W 16.029053°		 →
↑
138 m
↓
↑
138 m
↓
N 63.141949°
W 16.031799°		 ← 137.96 m →
19 037 m²		 N 63.141949°
W 16.029053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455471038818359 y=0.272045135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455471038818359 × 217)
    floor (0.455471038818359 × 131072)
    floor (59699.5)     		tx = 59699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272045135498047 × 217)
    floor (0.272045135498047 × 131072)
    floor (35657.5)     		ty = 35657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59699 / 35657 ti = "17/59699/35657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59699/35657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59699 ÷ 217
    59699 ÷ 131072     		x = 0.455467224121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35657 ÷ 217
    35657 ÷ 131072     		y = 0.272041320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455467224121094 × 2 - 1) × π
    -0.0890655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27980768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272041320800781 × 2 - 1) × π
    0.455917358398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.43230662374766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27980768} λ = -0.27980768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43230662374766))-π/2
    2×atan(4.18834900367764)-π/2
    2×1.33642644733256-π/2
    2.67285289466511-1.57079632675     		φ = 1.10205657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27980768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.031799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10205657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.143190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59699 KachelY 35657 -0.27980768 1.10205657 -16.031799 63.143190
    Oben rechts KachelX + 1 59700 KachelY 35657 -0.27975975 1.10205657 -16.029053 63.143190
    Unten links KachelX 59699 KachelY + 1 35658 -0.27980768 1.10203491 -16.031799 63.141949
    Unten rechts KachelX + 1 59700 KachelY + 1 35658 -0.27975975 1.10203491 -16.029053 63.141949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10205657-1.10203491) × R
    2.16600000000344e-05 × 6371000     		dl = 137.995860000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10205657-1.10203491) × R
    2.16600000000344e-05 × 6371000     		dr = 137.995860000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27980768--0.27975975) × cos(1.10205657) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.451762333159521 × 6371000     		do = 137.951063131212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27980768--0.27975975) × cos(1.10203491) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.451781656769707 × 6371000     		du = 137.956963828045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10205657)-sin(1.10203491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451762333159521-0.451781656769707)×R²
    abs(-0.27975975--0.27980768)×1.93236101859173e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93236101859173e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93236101859173e-05×40589641000000     		ar = 19037.0827312389m²