Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59698 / 35546
↖ ↑ ↗
← N 63.280592°
W 16.034546°		 ← 137.33 m → N 63.280592°
W 16.031799°		 →
↑
137.30 m
↓
↑
137.30 m
↓
N 63.279358°
W 16.034546°		 ← 137.33 m →
18 855 m²		 N 63.279358°
W 16.031799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455463409423828 y=0.271198272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455463409423828 × 217)
    floor (0.455463409423828 × 131072)
    floor (59698.5)     		tx = 59698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271198272705078 × 217)
    floor (0.271198272705078 × 131072)
    floor (35546.5)     		ty = 35546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59698 / 35546 ti = "17/59698/35546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59698/35546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59698 ÷ 217
    59698 ÷ 131072     		x = 0.455459594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35546 ÷ 217
    35546 ÷ 131072     		y = 0.271194458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455459594726562 × 2 - 1) × π
    -0.089080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27985562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271194458007812 × 2 - 1) × π
    0.457611083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.43762761960548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27985562} λ = -0.27985562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43762761960548))-π/2
    2×atan(4.21069458903839)-π/2
    2×1.33762551066884-π/2
    2.67525102133767-1.57079632675     		φ = 1.10445469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27985562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.034546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10445469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.280592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59698 KachelY 35546 -0.27985562 1.10445469 -16.034546 63.280592
    Oben rechts KachelX + 1 59699 KachelY 35546 -0.27980768 1.10445469 -16.031799 63.280592
    Unten links KachelX 59698 KachelY + 1 35547 -0.27985562 1.10443314 -16.034546 63.279358
    Unten rechts KachelX + 1 59699 KachelY + 1 35547 -0.27980768 1.10443314 -16.031799 63.279358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10445469-1.10443314) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dl = 137.295050000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10445469-1.10443314) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dr = 137.295050000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27985562--0.27980768) × cos(1.10445469) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449621581408312 × 6371000     		do = 137.326004221673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27985562--0.27980768) × cos(1.10443314) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449640830176393 × 6371000     		du = 137.331883290908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10445469)-sin(1.10443314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449621581408312-0.449640830176393)×R²
    abs(-0.27980768--0.27985562)×1.92487680805709e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92487680805709e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92487680805709e-05×40589641000000     		ar = 18854.5842003115m²