Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59698 / 27474
↖ ↑ ↗
← N 71.675756°
W 16.034546°		 ← 96.02 m → N 71.675756°
W 16.031799°		 →
↑
96.01 m
↓
↑
96.01 m
↓
N 71.674892°
W 16.034546°		 ← 96.03 m →
9 220 m²		 N 71.674892°
W 16.031799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455463409423828 y=0.209613800048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455463409423828 × 217)
    floor (0.455463409423828 × 131072)
    floor (59698.5)     		tx = 59698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209613800048828 × 217)
    floor (0.209613800048828 × 131072)
    floor (27474.5)     		ty = 27474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59698 / 27474 ti = "17/59698/27474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59698/27474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59698 ÷ 217
    59698 ÷ 131072     		x = 0.455459594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27474 ÷ 217
    27474 ÷ 131072     		y = 0.209609985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455459594726562 × 2 - 1) × π
    -0.089080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27985562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209609985351562 × 2 - 1) × π
    0.580780029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82457427333858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27985562} λ = -0.27985562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82457427333858))-π/2
    2×atan(6.20015488591731)-π/2
    2×1.41088713066878-π/2
    2.82177426133756-1.57079632675     		φ = 1.25097793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27985562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.034546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25097793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.675756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59698 KachelY 27474 -0.27985562 1.25097793 -16.034546 71.675756
    Oben rechts KachelX + 1 59699 KachelY 27474 -0.27980768 1.25097793 -16.031799 71.675756
    Unten links KachelX 59698 KachelY + 1 27475 -0.27985562 1.25096286 -16.034546 71.674892
    Unten rechts KachelX + 1 59699 KachelY + 1 27475 -0.27980768 1.25096286 -16.031799 71.674892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25097793-1.25096286) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dl = 96.0109699993303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25097793-1.25096286) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dr = 96.0109699993303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27985562--0.27980768) × cos(1.25097793) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.314394171235585 × 6371000     		do = 96.0240724013634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27985562--0.27980768) × cos(1.25096286) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.314408477038292 × 6371000     		du = 96.0284417617415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25097793)-sin(1.25096286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314394171235585-0.314408477038292)×R²
    abs(-0.27980768--0.27985562)×1.43058027070597e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.43058027070597e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.43058027070597e-05×40589641000000     		ar = 9219.5740881049m²