Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59696 / 59306
↖ ↑ ↗
← S 81.019773°
E147.919922°		 ← 95.34 m → S 81.019773°
E147.925415°		 →
↑
95.37 m
↓
↑
95.37 m
↓
S 81.020630°
E147.919922°		 ← 95.33 m →
9 093 m²		 S 81.020630°
E147.925415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910896301269531 y=0.904945373535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910896301269531 × 216)
    floor (0.910896301269531 × 65536)
    floor (59696.5)     		tx = 59696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904945373535156 × 216)
    floor (0.904945373535156 × 65536)
    floor (59306.5)     		ty = 59306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59696 / 59306 ti = "16/59696/59306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59696/59306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59696 ÷ 216
    59696 ÷ 65536     		x = 0.910888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59306 ÷ 216
    59306 ÷ 65536     		y = 0.904937744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910888671875 × 2 - 1) × π
    0.82177734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58168967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904937744140625 × 2 - 1) × π
    -0.80987548828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5442988842341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58168967} λ = 2.58168967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5442988842341))-π/2
    2×atan(0.0785280899664078)-π/2
    2×0.0783672658958536-π/2
    0.156734531791707-1.57079632675     		φ = -1.41406179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58168967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41406179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.019773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59696 KachelY 59306 2.58168967 -1.41406179 147.919922 -81.019773
    Oben rechts KachelX + 1 59697 KachelY 59306 2.58178554 -1.41406179 147.925415 -81.019773
    Unten links KachelX 59696 KachelY + 1 59307 2.58168967 -1.41407676 147.919922 -81.020630
    Unten rechts KachelX + 1 59697 KachelY + 1 59307 2.58178554 -1.41407676 147.925415 -81.020630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41406179--1.41407676) × R
    1.49699999998365e-05 × 6371000     		dl = 95.3738699989584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41406179--1.41407676) × R
    1.49699999998365e-05 × 6371000     		dr = 95.3738699989584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58168967-2.58178554) × cos(-1.41406179) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156093608550415 × 6371000     		do = 95.3400670777586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58168967-2.58178554) × cos(-1.41407676) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156078822031193 × 6371000     		du = 95.3310356526571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41406179)-sin(-1.41407676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156093608550415-0.156078822031193)×R²
    abs(2.58178554-2.58168967)×1.478651922171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.478651922171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.478651922171e-05×40589641000000     		ar = 9092.52048255204m²