Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59696 / 30989
↖ ↑ ↗
← N 68.386031°
W 16.040039°		 ← 112.48 m → N 68.386031°
W 16.037293°		 →
↑
112.45 m
↓
↑
112.45 m
↓
N 68.385020°
W 16.040039°		 ← 112.49 m →
12 649 m²		 N 68.385020°
W 16.037293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455448150634766 y=0.236431121826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455448150634766 × 217)
    floor (0.455448150634766 × 131072)
    floor (59696.5)     		tx = 59696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236431121826172 × 217)
    floor (0.236431121826172 × 131072)
    floor (30989.5)     		ty = 30989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59696 / 30989 ti = "17/59696/30989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59696/30989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59696 ÷ 217
    59696 ÷ 131072     		x = 0.4554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30989 ÷ 217
    30989 ÷ 131072     		y = 0.236427307128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27995149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236427307128906 × 2 - 1) × π
    0.527145385742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.65607607117408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27995149} λ = -0.27995149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65607607117408))-π/2
    2×atan(5.23871411948897)-π/2
    2×1.38217887084356-π/2
    2.76435774168712-1.57079632675     		φ = 1.19356141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27995149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.040039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19356141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.386031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59696 KachelY 30989 -0.27995149 1.19356141 -16.040039 68.386031
    Oben rechts KachelX + 1 59697 KachelY 30989 -0.27990356 1.19356141 -16.037293 68.386031
    Unten links KachelX 59696 KachelY + 1 30990 -0.27995149 1.19354376 -16.040039 68.385020
    Unten rechts KachelX + 1 59697 KachelY + 1 30990 -0.27990356 1.19354376 -16.037293 68.385020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19356141-1.19354376) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dl = 112.448149999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19356141-1.19354376) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dr = 112.448149999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27995149--0.27990356) × cos(1.19356141) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368351219728463 × 6371000     		do = 112.480476209328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27995149--0.27990356) × cos(1.19354376) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36836762864152 × 6371000     		du = 112.48548686833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19356141)-sin(1.19354376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368351219728463-0.36836762864152)×R²
    abs(-0.27990356--0.27995149)×1.64089130574308e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64089130574308e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64089130574308e-05×40589641000000     		ar = 12648.5031809408m²