Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59696 / 30463
↖ ↑ ↗
← N 68.911993°
W 16.040039°		 ← 109.87 m → N 68.911993°
W 16.037293°		 →
↑
109.84 m
↓
↑
109.84 m
↓
N 68.911005°
W 16.040039°		 ← 109.87 m →
12 068 m²		 N 68.911005°
W 16.037293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455448150634766 y=0.232418060302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455448150634766 × 217)
    floor (0.455448150634766 × 131072)
    floor (59696.5)     		tx = 59696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232418060302734 × 217)
    floor (0.232418060302734 × 131072)
    floor (30463.5)     		ty = 30463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59696 / 30463 ti = "17/59696/30463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59696/30463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59696 ÷ 217
    59696 ÷ 131072     		x = 0.4554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30463 ÷ 217
    30463 ÷ 131072     		y = 0.232414245605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27995149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232414245605469 × 2 - 1) × π
    0.535171508789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.68129088037423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27995149} λ = -0.27995149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68129088037423))-π/2
    2×atan(5.37248673445267)-π/2
    2×1.38676875017315-π/2
    2.77353750034629-1.57079632675     		φ = 1.20274117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27995149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.040039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20274117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.911993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59696 KachelY 30463 -0.27995149 1.20274117 -16.040039 68.911993
    Oben rechts KachelX + 1 59697 KachelY 30463 -0.27990356 1.20274117 -16.037293 68.911993
    Unten links KachelX 59696 KachelY + 1 30464 -0.27995149 1.20272393 -16.040039 68.911005
    Unten rechts KachelX + 1 59697 KachelY + 1 30464 -0.27990356 1.20272393 -16.037293 68.911005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20274117-1.20272393) × R
    1.72399999998074e-05 × 6371000     		dl = 109.836039998773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20274117-1.20272393) × R
    1.72399999998074e-05 × 6371000     		dr = 109.836039998773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27995149--0.27990356) × cos(1.20274117) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359801518715375 × 6371000     		do = 109.869722152077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27995149--0.27990356) × cos(1.20272393) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359817604079576 × 6371000     		du = 109.874634011543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20274117)-sin(1.20272393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359801518715375-0.359817604079576)×R²
    abs(-0.27990356--0.27995149)×1.60853642008352e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60853642008352e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60853642008352e-05×40589641000000     		ar = 12067.9249469528m²