Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59695 / 59409
↖ ↑ ↗
← S 81.107661°
E147.914429°		 ← 94.42 m → S 81.107661°
E147.919922°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
S 81.108510°
E147.914429°		 ← 94.42 m →
8 915 m²		 S 81.108510°
E147.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910881042480469 y=0.906517028808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910881042480469 × 216)
    floor (0.910881042480469 × 65536)
    floor (59695.5)     		tx = 59695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906517028808594 × 216)
    floor (0.906517028808594 × 65536)
    floor (59409.5)     		ty = 59409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59695 / 59409 ti = "16/59695/59409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59695/59409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59695 ÷ 216
    59695 ÷ 65536     		x = 0.910873413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59409 ÷ 216
    59409 ÷ 65536     		y = 0.906509399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910873413085938 × 2 - 1) × π
    0.821746826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58159379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906509399414062 × 2 - 1) × π
    -0.813018798828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55417388555583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58159379} λ = 2.58159379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55417388555583))-π/2
    2×atan(0.0777564412608322)-π/2
    2×0.0776003004821088-π/2
    0.155200600964218-1.57079632675     		φ = -1.41559573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58159379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.914429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41559573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.107661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59695 KachelY 59409 2.58159379 -1.41559573 147.914429 -81.107661
    Oben rechts KachelX + 1 59696 KachelY 59409 2.58168967 -1.41559573 147.919922 -81.107661
    Unten links KachelX 59695 KachelY + 1 59410 2.58159379 -1.41561055 147.914429 -81.108510
    Unten rechts KachelX + 1 59696 KachelY + 1 59410 2.58168967 -1.41561055 147.919922 -81.108510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41559573--1.41561055) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dl = 94.4182200005224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41559573--1.41561055) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dr = 94.4182200005224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58159379-2.58168967) × cos(-1.41559573) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154578288130152 × 6371000     		do = 94.4243760801081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58159379-2.58168967) × cos(-1.41561055) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154563646241534 × 6371000     		du = 94.4154320607757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41559573)-sin(-1.41561055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154578288130152-0.154563646241534)×R²
    abs(2.58168967-2.58159379)×1.46418886181887e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.46418886181887e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.46418886181887e-05×40589641000000     		ar = 8914.95927510302m²