Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59694 / 59410
↖ ↑ ↗
← S 81.108510°
E147.908936°		 ← 94.41 m → S 81.108510°
E147.914429°		 →
↑
94.35 m
↓
↑
94.35 m
↓
S 81.109359°
E147.908936°		 ← 94.40 m →
8 907 m²		 S 81.109359°
E147.914429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910865783691406 y=0.906532287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910865783691406 × 216)
    floor (0.910865783691406 × 65536)
    floor (59694.5)     		tx = 59694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906532287597656 × 216)
    floor (0.906532287597656 × 65536)
    floor (59410.5)     		ty = 59410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59694 / 59410 ti = "16/59694/59410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59694/59410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59694 ÷ 216
    59694 ÷ 65536     		x = 0.910858154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59410 ÷ 216
    59410 ÷ 65536     		y = 0.906524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910858154296875 × 2 - 1) × π
    0.82171630859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58149792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906524658203125 × 2 - 1) × π
    -0.81304931640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55426975935507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58149792} λ = 2.58149792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55426975935507))-π/2
    2×atan(0.077748986812742)-π/2
    2×0.0775928908289622-π/2
    0.155185781657924-1.57079632675     		φ = -1.41561055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58149792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.908936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41561055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.108510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59694 KachelY 59410 2.58149792 -1.41561055 147.908936 -81.108510
    Oben rechts KachelX + 1 59695 KachelY 59410 2.58159379 -1.41561055 147.914429 -81.108510
    Unten links KachelX 59694 KachelY + 1 59411 2.58149792 -1.41562536 147.908936 -81.109359
    Unten rechts KachelX + 1 59695 KachelY + 1 59411 2.58159379 -1.41562536 147.914429 -81.109359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41561055--1.41562536) × R
    1.48099999999207e-05 × 6371000     		dl = 94.3545099994949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41561055--1.41562536) × R
    1.48099999999207e-05 × 6371000     		dr = 94.3545099994949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58149792-2.58159379) × cos(-1.41561055) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154563646241534 × 6371000     		do = 94.4055848109335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58149792-2.58159379) × cos(-1.41562536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15454901419882 × 6371000     		du = 94.3966477381937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41561055)-sin(-1.41562536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154563646241534-0.15454901419882)×R²
    abs(2.58159379-2.58149792)×1.46320427139857e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46320427139857e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46320427139857e-05×40589641000000     		ar = 8907.17106963925m²