Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59693 / 59380
↖ ↑ ↗
← S 81.083002°
E147.903442°		 ← 94.68 m → S 81.083002°
E147.908936°		 →
↑
94.67 m
↓
↑
94.67 m
↓
S 81.083853°
E147.903442°		 ← 94.68 m →
8 964 m²		 S 81.083853°
E147.908936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910850524902344 y=0.906074523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910850524902344 × 216)
    floor (0.910850524902344 × 65536)
    floor (59693.5)     		tx = 59693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906074523925781 × 216)
    floor (0.906074523925781 × 65536)
    floor (59380.5)     		ty = 59380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59693 / 59380 ti = "16/59693/59380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59693/59380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59693 ÷ 216
    59693 ÷ 65536     		x = 0.910842895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59380 ÷ 216
    59380 ÷ 65536     		y = 0.90606689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910842895507812 × 2 - 1) × π
    0.821685791015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58140204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.8121337890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55139354537787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58140204} λ = 2.58140204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55139354537787))-π/2
    2×atan(0.077972931437272)-π/2
    2×0.0778154860073887-π/2
    0.155630972014777-1.57079632675     		φ = -1.41516535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58140204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.903442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41516535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.083002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59693 KachelY 59380 2.58140204 -1.41516535 147.903442 -81.083002
    Oben rechts KachelX + 1 59694 KachelY 59380 2.58149792 -1.41516535 147.908936 -81.083002
    Unten links KachelX 59693 KachelY + 1 59381 2.58140204 -1.41518021 147.903442 -81.083853
    Unten rechts KachelX + 1 59694 KachelY + 1 59381 2.58149792 -1.41518021 147.908936 -81.083853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41516535--1.41518021) × R
    1.48599999998389e-05 × 6371000     		dl = 94.6730599989736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41516535--1.41518021) × R
    1.48599999998389e-05 × 6371000     		dr = 94.6730599989736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58140204-2.58149792) × cos(-1.41516535) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15500348086698 × 6371000     		do = 94.6841056926841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58140204-2.58149792) × cos(-1.41518021) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154988800448958 × 6371000     		du = 94.6751381376086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41516535)-sin(-1.41518021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15500348086698-0.154988800448958)×R²
    abs(2.58149792-2.58140204)×1.46804180214954e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.46804180214954e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.46804180214954e-05×40589641000000     		ar = 8963.60952671044m²