Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59693 / 59312
↖ ↑ ↗
← S 81.024916°
E147.903442°		 ← 95.30 m → S 81.024916°
E147.908936°		 →
↑
95.31 m
↓
↑
95.31 m
↓
S 81.025773°
E147.903442°		 ← 95.29 m →
9 082 m²		 S 81.025773°
E147.908936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910850524902344 y=0.905036926269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910850524902344 × 216)
    floor (0.910850524902344 × 65536)
    floor (59693.5)     		tx = 59693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905036926269531 × 216)
    floor (0.905036926269531 × 65536)
    floor (59312.5)     		ty = 59312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59693 / 59312 ti = "16/59693/59312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59693/59312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59693 ÷ 216
    59693 ÷ 65536     		x = 0.910842895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59312 ÷ 216
    59312 ÷ 65536     		y = 0.905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910842895507812 × 2 - 1) × π
    0.821685791015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58140204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905029296875 × 2 - 1) × π
    -0.81005859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54487412702954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58140204} λ = 2.58140204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54487412702954))-π/2
    2×atan(0.0784829302385643)-π/2
    2×0.0783223827877793-π/2
    0.156644765575559-1.57079632675     		φ = -1.41415156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58140204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.903442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41415156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.024916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59693 KachelY 59312 2.58140204 -1.41415156 147.903442 -81.024916
    Oben rechts KachelX + 1 59694 KachelY 59312 2.58149792 -1.41415156 147.908936 -81.024916
    Unten links KachelX 59693 KachelY + 1 59313 2.58140204 -1.41416652 147.903442 -81.025773
    Unten rechts KachelX + 1 59694 KachelY + 1 59313 2.58149792 -1.41416652 147.908936 -81.025773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41415156--1.41416652) × R
    1.49599999998973e-05 × 6371000     		dl = 95.3101599993456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41415156--1.41416652) × R
    1.49599999998973e-05 × 6371000     		dr = 95.3101599993456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58140204-2.58149792) × cos(-1.41415156) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156004938298302 × 6371000     		do = 95.2958474467642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58140204-2.58149792) × cos(-1.41416652) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155990161446969 × 6371000     		du = 95.2868209852574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41415156)-sin(-1.41416652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156004938298302-0.155990161446969)×R²
    abs(2.58149792-2.58140204)×1.47768513336366e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.47768513336366e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.47768513336366e-05×40589641000000     		ar = 9082.23231086452m²