Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59693 / 35543
↖ ↑ ↗
← N 63.284297°
W 16.048279°		 ← 137.28 m → N 63.284297°
W 16.045532°		 →
↑
137.30 m
↓
↑
137.30 m
↓
N 63.283062°
W 16.048279°		 ← 137.29 m →
18 848 m²		 N 63.283062°
W 16.045532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455425262451172 y=0.271175384521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455425262451172 × 217)
    floor (0.455425262451172 × 131072)
    floor (59693.5)     		tx = 59693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271175384521484 × 217)
    floor (0.271175384521484 × 131072)
    floor (35543.5)     		ty = 35543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59693 / 35543 ti = "17/59693/35543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59693/35543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59693 ÷ 217
    59693 ÷ 131072     		x = 0.455421447753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35543 ÷ 217
    35543 ÷ 131072     		y = 0.271171569824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455421447753906 × 2 - 1) × π
    -0.0891571044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28009530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271171569824219 × 2 - 1) × π
    0.457656860351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.43777143030434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28009530} λ = -0.28009530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43777143030434))-π/2
    2×atan(4.21130017551379)-π/2
    2×1.33765783878906-π/2
    2.67531567757811-1.57079632675     		φ = 1.10451935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28009530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.048279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10451935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.284297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59693 KachelY 35543 -0.28009530 1.10451935 -16.048279 63.284297
    Oben rechts KachelX + 1 59694 KachelY 35543 -0.28004737 1.10451935 -16.045532 63.284297
    Unten links KachelX 59693 KachelY + 1 35544 -0.28009530 1.10449780 -16.048279 63.283062
    Unten rechts KachelX + 1 59694 KachelY + 1 35544 -0.28004737 1.10449780 -16.045532 63.283062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10451935-1.10449780) × R
    2.15499999998148e-05 × 6371000     		dl = 137.29504999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10451935-1.10449780) × R
    2.15499999998148e-05 × 6371000     		dr = 137.29504999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28009530--0.28004737) × cos(1.10451935) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.449563824918792 × 6371000     		do = 137.279722191692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28009530--0.28004737) × cos(1.10449780) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.449583074313359 × 6371000     		du = 137.285600225893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10451935)-sin(1.10449780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449563824918792-0.449583074313359)×R²
    abs(-0.28004737--0.28009530)×1.92493945666006e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92493945666006e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92493945666006e-05×40589641000000     		ar = 18848.229835403m²