Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59692 / 59404
↖ ↑ ↗
← S 81.103414°
E147.897949°		 ← 94.46 m → S 81.103414°
E147.903442°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
S 81.104263°
E147.897949°		 ← 94.45 m →
8 918 m²		 S 81.104263°
E147.903442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910835266113281 y=0.906440734863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910835266113281 × 216)
    floor (0.910835266113281 × 65536)
    floor (59692.5)     		tx = 59692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906440734863281 × 216)
    floor (0.906440734863281 × 65536)
    floor (59404.5)     		ty = 59404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59692 / 59404 ti = "16/59692/59404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59692/59404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59692 ÷ 216
    59692 ÷ 65536     		x = 0.91082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59404 ÷ 216
    59404 ÷ 65536     		y = 0.90643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91082763671875 × 2 - 1) × π
    0.8216552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58130617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.8128662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.55369451655963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58130617} λ = 2.58130617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55369451655963))-π/2
    2×atan(0.0777937242234618)-π/2
    2×0.0776373592774341-π/2
    0.155274718554868-1.57079632675     		φ = -1.41552161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58130617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.897949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41552161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.103414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59692 KachelY 59404 2.58130617 -1.41552161 147.897949 -81.103414
    Oben rechts KachelX + 1 59693 KachelY 59404 2.58140204 -1.41552161 147.903442 -81.103414
    Unten links KachelX 59692 KachelY + 1 59405 2.58130617 -1.41553643 147.897949 -81.104263
    Unten rechts KachelX + 1 59693 KachelY + 1 59405 2.58140204 -1.41553643 147.903442 -81.104263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41552161--1.41553643) × R
    1.48199999998599e-05 × 6371000     		dl = 94.4182199991077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41552161--1.41553643) × R
    1.48199999998599e-05 × 6371000     		dr = 94.4182199991077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58130617-2.58140204) × cos(-1.41552161) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154651516823304 × 6371000     		do = 94.4592550876214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58130617-2.58140204) × cos(-1.41553643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154636875104516 × 6371000     		du = 94.4503121048539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41552161)-sin(-1.41553643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154651516823304-0.154636875104516)×R²
    abs(2.58140204-2.58130617)×1.46417187879833e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46417187879833e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46417187879833e-05×40589641000000     		ar = 8918.25253766452m²